Приклад побудови моделі лінійної регресії

Припустимо, що досліджується вплив пройденої автомобілем відстані на зношування шин. Щоб виключити вплив умов експлуатації були вибрані 5 різних типів автомобілів.

Експериментальні дані зведені до таблиці 3.2.

Таблиця 3.2 Дані експериментальних досліджень

Відстань хі(км)	Величина зношування шин yij (мм) 5 автомобілів

У якості інтервалу усереднення вибираємо Δх = 10000 км (і = 1,2,3,4,5), тобто N=5 (число інтервалів). Середнє по кожному інтервалу визначається за формулою:

де k - кількість типів автомобілів. Після розрахунків отримано: =3,2 мм, =5,6 мм, =9,0 мм, =11,4 мм, = 15,2 мм

Зобразимо розподілення значень інтервальних середніх на кореляційному полі (див. рис 3.2).

Рис. 3.2 Розподіл інтервальних середніх на кореляційному полі.

Очевидно, що найбільш підходящою апроксимацією у даному випадку буде лінійна регресія вигляду:

Зведемо данні усереднення до розрахункової таблиці 3.3

	у(мм)	х(тис.км)	х^2	ху
	3,2 5,6 9,0 11,4 15,2			32,0 112,0 270,0
Всього	44,4
Сер. значення	8,88

Отже, рівняння лінійної регресії має вигляд:

де х - тис. км.; у – в мм.

Відмітимо, що початкове зношування а₀ = 2,94 мм не має (фізичного змісту, оскільки модель застосовується лише при величинах пробігу

10000 ≤х≤50000 км.

Спробуємо дещо покращити якість моделі. Для цього введемо до експериментальних даних апріорну інформацію про відсутність зношування нових шин, тобто у = 0 при х = 0 і визначимо нові параметри моделі регресії (при n = 6) (див. таблицю 3.4).

Таблиця 3.4

	у(мм)	х(тис.км)	х^2	ху
	3,2			32,0
	5,6			112,0
	9,0			270,0
	11,4
	15,2
Всього	44,4
Середнє значення	7,40	25,0

За даними таблиці знаходимо:

а₀ = 7,7 - 0,24∙25 = 1,7 мм.

Рівняння регресії має вигляд:

Як слідує з отриманого рівняння, введення додаткової точки у=0 при суттєво підвищує точність розрахункового значення у(0).

Більш того, достовірне знання того, що у = 0 при х = 0 дозволяє обрати модель вигляду:

Тоді розрахунок коефіцієнта регресії можна провести на основі середніх значень

що ще більш уточнює параметри моделі.

Визначимо похибку застосування трьох вказаних моделей:

для лінійної апроксимації експериментальних даних. Розрахункові величини зведемо до таблиці 3.5.

Таблиця 3.5

xi	yi
	3,2 5,6 9,0 11,4 15,2	4,92 6,9 8,88 10,86 12,84	4,1 6,5 8,6 11,3 13,7	2,96 5,92 8,88 11,84 14,8	2,598 1,690 0,014 0,292 5,570	0,81 0,81 0,01 0,01 2,25	0,058 0,102 0,014 0,195 0,160
Сума квадратів відхилень	10,164	3,89	0,529
Середньоквадратична похибка відхилень	2,03	0,778	0,106

Порівняння характеристик точності моделей показує, що введення додаткових достовірних даних дозволяє збільшити точність моделі.

У загальному випадку, якщо в моделі можливе врахування будь-якої достовірної інформації, то така модель завжди буде точнішою.

Для розрахунку значень загальної, факторної та залишкової дисперсії складемо наступну таблицю 3.6 (наприклад, для випадку першої моделі

).

Таблиця 3.6

	yi
	3,2 5,6 9,0 11,4 15,2	4,92 6,9 8,88 10,86 12,84	-5,6 -3,2 0,20 2,6 6,4	-1,72 -1,3 0,12 0,54 2,36	31,36 10,24 0,04 6,76 40,96	2,96 1,69 0,014 0,29 5,57
Всього	44,4				89,36	10,5256
Середнє значення	8,88

Розрахуємо факторну дисперсію:

Тоді коефіцієнт детермінації визначиться як

тобто 88% зношування шин обумовлено дальністю пробігу автомобіля. Коефіцієнт регресії

що свідчить про велику близькість реальної залежності у(х) до лінійної форми.

Дата добавления: 2014-12-29