Матрична форма моделі множинної регресії

В практиці розрахунків коефіцієнтів множинної регресії часто використовується матрична форма запису рівняння регресії.

В цьому випадку для уніфікації запису рівняння регресії у перши
доданок формули (4.5) уведемо штучну змінну x₀=1=const.

При оцінці параметрів цього рівняння в кожному і -му спостереженні фіксують значення у_і і х_ji (). Значене результативної змінної у, розрахованої по моделі (4.5), позначимо через . Тоді похибка моделі в і -му спостереженні буде дорівнювати з математичним сподіванням, рівним 0 і дисперсією , як це було показано вище.

Рівняння регресії між векторами значень Y і незалежних змінних Х записуємо в матричній формі як

де Х={х_ij} - матриця значень незалежних факторів (змінних) розмірності ( (нагадаємо, що х_і0 =1 (і= );

- вектор стовпець оцінок у_і розмірністю ();

- вектор невідомих параметрів моделі, розмірністю () (нагадаємо, що мається також вільний член а₀).

При прийнятих позначках вектор експериментальних значень Y розмірністю () може бути представлений у виді

(4.12)

де E={ε_i} вектор помилок моделі розмірністю (). Очевидно (див. 4.12), що

E=Y-XA

Нагадаємо деякі властивості матриць:

де - зворотна матриця, - визначник матриці А; - алгебраїчне доповнення до мінору .

З використанням зазначених властивостей матриць запишемо суму квадратів відхилень:

Диференціюючи по А, і прирівнюючи отриману похідну до нуля, одержуємо:

(4.13)

Таким чином, матриця параметрів моделі рівняння множинної регресії, що забезпечують мінімум СКО, може бути отримана безпосередньо з експериментальних даних.

Конкретизуємо величини, що входять до формули (4.13):

тобто кожен рядок являє собою вибірку т незалежних змінних, крім x₀ =l=const.

Підсумовування кожного елемента зазначеного в матриці здійснюється по кількості спостережень N.

Дата добавления: 2014-12-29