Методи генерування потоків подійз різними законами розподілу ймовірностей

Практично усі випадкові потоки подій мають у своїй основі потік з рівномірним законом розподілу ймовірностей, котрий далі трансформується в потік з будь-яким законом розподілу. Тому розглянемо більш детально властивості і алгоритм формування саме цього потоку.

Перш за все, це є потік рівномірно розподілених випадкових чисел, значення яких належать відрізку [0, 1]. Опишемо властивості цих чисел.

Нагадаємо, що випадкова величина X має рівномірний розподіл на відрізку [0, 1]. Щільність розподілу ймовірностей має вигляд:

(9.10)

Математичне очікування та дисперсія такого розподілу: т_х=\/2; σ²_x =1/12. В ЕОМ генерування потоку випадкових чисел, що мають такий закон розподілу, здійснюється за допомогою оператора " rnd ". Практично при цьому застосовується досить проста процедура:

u_i+1 = FRAC(k · и.), де k = 8t ± З, t - непарне ціле число.

Часто застосовують значення t=5, k =37 або k=39. При цьому необхідно задавати довільне початкове значення u₀ < 0. Отримана таким чином послідовність чисел у достатньо великій кількості буде розподілена рівномірно на інтервалі [0,1]. Отримана послідовність не є чисто випадковою, тому що застосовує детермінований алгоритм генерації. Це означає, що числа будуть випадковими лише протягом одної послідовності. При повторі вони, строго кажучи, будуть повторюватись, якщо не змінити початкове значення u₀. Щоб запобігти цьому явищу, застосовують оператор " randomize " з метою випадкового варіювання значення u₀.

Для генерування випадкової рівномірно розподіленої послідовності чисел в будь якому інтервалі [а,b] застосовують трансформацію генерованої послідовності и_i (і = ) за допомогою формули:

Випадкові послідовності, що є розподілені по нормальному (гаусовському) закону розподілу, отримуються звичайно трансформацією послідовності з рівномірним розподілом за допомогою формул:

При цьому генерується послідовність нормально розподілених чисел, що мають математичне очікування m_R=0 і дисперсію σ²_R=l. При інших значеннях m_R і σ²_R цю послідовність трансформують наступним чином:

При необхідності генерувати потік Пуассона з експоненційним законом розподілу часових інтервалів між подіями у потоці, послідовність з рівномірним розподілом трансформується за допомогою наступної формули:

(9.11)

Величина (1-u_i) також має рівномірний розподіл на відрізку [0,1]. Тому вираз для x_i можна написати простіше:

(9.12)

При моделюванні потоків Ерланга випадкову величину хі можна розіграти по формулі, запропонованій у книзі проф. Соболя І.М[8]:

(9.13)

де и₁ ≤ u₂ ≤... ≤ и_к - випадкові числа отримані оператором "rnd" в діапазоні [0, 1]), при умові їх розташування в порядку зростання. Саме необхідність впорядкування потоку чисел и_i робить цей метод дещо складним. Тому в [5] запропоновано новий метод трансформації випадкових чисел, отриманих оператором "rnd" в діапазоні [0, 1]), а саме за допомогою формули:

(9.14)

Зауважимо, що при застосуванні цього методу немає необхідності ранжирувати початковий потік, що значно спрощує задачу генерації.

В таблиці 9.1 наведені чисельні характеристики потоків, отриманих за допомогою вказаних методів. Там же наведені результати формування потоку шляхом простого просіювання.

Таблиця 9.1 Порівняльна характеристика різних методів генерування потоків Ерланга (А=1)

Методи моделювання	К
	тх	σх	тх	σх	тх	σх	тх	σх	тх	σх
теоретичні значення	1,000	1,000	1,000	0,707	1,000	0,577	1,000	0,500	1,000	0,447
Просте просіювання	0,992	0,939	0,947	0,922	0,967	0,843	0,924	0,897	1,050	0,997
Метод (II)	1,456	0,958	1,224	0,717	1,035	0,535	1,033	0,528	0,892	0,375
Метод (І)	0,992_	0,939	0,975	0,638	0,992	0,545	0,975	0,445	0,969	0,433

Порівняння результатів свідчить про те, що просте просіювання не дає задовільного результату. Обидва інші методи майже рівнозначні, за винятком к=1. Далі, при розробці програми імітаційного моделювання систем масового обслуговування з непуоссонівськими потоками заявок буде передбачена можливість застосування як одного, так і другого методу генерування потоків Ерланга. Але при к=1 доцільніше користуватись стандартною процедурою генерування потоку Пуассона.

Дата добавления: 2014-12-29