Метод Монте-Карло

Більшість процесів, що характерні для транспортних систем, значною мірою відбуваються під впливом випадкових факторів, які не підлягають контролю з боку осіб, відповідальних за прийняття і реалізацію рішень у контексті забезпечення оптимального функціонування систем.

Проте з позицій системного аналізу врахування невизначеностей є обов'язковим елементом процедури вироблення планово-управлінських рішень.

Задача полягає в тому, щоб якомога повніше врахувати вплив неконтрольованих випадкових факторів і зробити в таких умовах аргументований висновок щодо можливих напрямків розвитку системи та оптимальної стратегії нею. Такі задачі розв'язують за допомогою методу Монте-Карло (методу статистичних випробувань).

Метод Монте-Карло являє собою сукупність формальних процедур, засобами яких відтворюються на ЕОМ будь-які випадкові фактори (випадкові події, випадкові величини з довільним розподілом, випадкові вектори тощо). Зауважимо, що «розігрування» вибірок за методом Монте-Карло є основним принципом імітаційного моделювання систем зі стохастичними (випадковими, імовірними) елементами.

Зародження методу Монте-Карло пов'язане з дослідженнями фонНеймана та Улама наприкінці 40-х років, коли вони запровадили термін «метод Монте-Карло» і застосували цей метод до розв'язування деяких задач екранування ядерних випромінювань. Згаданий математичний метод був відомий давно, проте пережив своє друге народження, коли знайшов у Лос-Аламосі (США) застосування в закритих роботах з ядерної техніки, виконуваних під кодовою назвою «Монте-Карло». Результати були настільки успішними, що цей метод швидко поширився і в інших галузях науки і техніки. Для багатьох фахівців термін «метод Монте-Карло» є синонімом терміна «імітаційне моделювання». І хоча вибірковий метод Монте-Карло є найбільш корисним при моделюванні стохастичних ситуацій, він придатний також і для розв'язання деяких цілком детермінованих задач, що не мають аналітичних розв'язків.

Одним з найбільш поширеним прикладом застосування методу Монте-

Рис.9.1 Визначення площі методом Монте-Карло

Карло є визначення площі чи об'єму геометричних фігур, що не мають аналітичного виразу оточуючих фігуру границь. Розглянемо простий випадок. Нехай потрібно визначити площу фігури довільної форми, що не має аналітичного виразу (див. рис.9.1). Якщо на площі прямокутника (a x b) генерувати N точок з випадковими координатами у і х, що підкоряються рівномірному закону розподілу ймовірностей, і підраховувати кількість точок, як належать саме фігурі (n), то при великій кількості точок N можна стверджувати, що площа цієї фігури може бути визначена як: Рис.9.1 Визначення площі методом Монте-Карло

Очевидно, що такий спосіб визначення площі не потребує знання аналітичного виразу границь фігури. Головним при цьому є лише необхідність генерування послідовності N випадкових чисел, які підкоряються рівномірному закону розподілу ймовірності їх появи. Алгоритм аналізу кожної пари координат (у_i і х_i) є при цьому дуже простим: чи належить цяточка фігурі чи ні.

Очевидно також, що точність визначення S цілком залежить від кількості генерованих точок N В теорії методу статистичних випробувань приводиться, що похибка результату визначається як , де D – певна константа. Очевидно, що збільшення точності результату потребує збільшення кількості генерованих випадкових чисел у 100 разів. Саме необхідність генерування значної кількості випадкових чисел і є суттєвим недоліком цього методу. Вважається, що 90% задачі імітаційного моделювання систем приходиться саме на генерування випадкової послідовності чисел з заданим розподілом ймовірності і тільки 10% - на моделювання алгоритму функціонування системи.

Не менш важливим є правильний вибір закону розподілу ймовірностей появи певних чисел у випадкової послідовності. Наприклад, якщо в розглянутому раніше випадку при генеруванні випадкової послідовності координат точок не з рівномірним, а з нормальним законом розподілу їх відхилень від центру прямокутника, відношення n/N являє собою вже характеристику точності попадання у центр прямокутника, а аж ніяк не визначатиме площу фігури.

Відмітимо, що саме необхідність генерування випадкової послідовності чисел з заданим законом їх розподілу, який відповідає реальним процесам, що протікають у реальній системі, є основною задачею імітаційного моделювання, а точність генерування заданого закону розподілу випадкових величин у значний мірі обумовлює точність результатів імітаційного моделювання.

Дата добавления: 2014-12-29