Види випадкових потоків

При розгляді випадкових процесів, які протікають в системах з дискретними станами і безперервним часом, часто доводиться стикатися з так званими «потоками подій».

Потоком подій називається послідовність однорідних подій, які слідують одне за одним у випадкові моменти часу.

Прикладами можуть бути:

—потік вимог на телефонній станції;

—потік вантажів, які поступають у складські приміщення;

—автомобілів, що надходять на АЗС, і т. ін.

При розгляді процесів, які протікають в системі з дискретними станами і безперервним часом, часто буває зручно уявити собі процес так, буцімто переходи системи із стану в стан проходять під дією якихось потоків подій (потік вимог, потік несправностей, потік заявок на обслуговування, потік відвідувачів і т. п.) Будемо зображувати потік подій послідовністю точок на осі часу 0t (рис.9.2).

Рис.9.2. Зображення потоку на часовій осі

Користуючись таким зображенням, слід пам'ятати, що положення кожної точки на осі 0t випадкове.

Потік подій зветься регулярним, якщо події слідують одне за одним через строго визначені проміжки часу. Такий потік порівняно рідко зустрічаються на практиці, але являє собою визначений інтерес як граничний випадок.

Частіше приходиться зустрічатися з потоками подій, для яких і моменти появи подій і проміжки часу між ними випадкові.

1. Потік подій зветься стаціонарним, якщо імовірність потрапляння того чи іншого числа подій на ділянку часу довжиною т (рис.9.2) залежить тільки від довжини ділянки і не залежить від того, де саме на осі 0t розташована ця ділянка.

2. Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких ділянок часу, які не перетинаються, число подій, які потрапляють на один із них, не залежить від того, скільки подій потрапило на другу (або іншу, якщо розглядається більше двох ділянок).

3. Потік подій зветься ординарним, якщо імовірність потрапляння на елементарну ділянку двох або більше подій мала на стільки, що нею можна знехтувати в порівнянні з імовірністю потрапляння на неї однієї події.

Розглянемо більш детально ці три властивості потоків.

Стаціонарність потоку означає його однорідність в часі; імовірнісні характеристики такого потоку не повинні змінюватися залежно від часу. Зокрема, інтенсивність потоку подій — середнє число подій в одиницю часу — для стаціонарного потоку повинна залишатися постійною. Зрозуміло, це не означає, що фактична кількість подій, які з'являються в одиницю часу, постійна.

Потік може мати місцеві згущення і розрідження. Важливо, що для стаціонарного потоку ці згущення і розрідження не носять закономірного характеру, а середнє число подій, які потрапляють на одиничну ділянку часу, залишається постійним для усього періоду, який розглядається.

На практиці часто зустрічаються потоки подій, які (принаймні, на обмеженій ділянці часу) можуть розглядатися як стаціонарні. Наприклад, потік вимог, які потрапляють на телефонну станцію, скажемо, на інтервалі від 12 до 13 годин може вважатися стаціонарним. Той же потік на протязі цілої доби вже не буде стаціонарним (вночі інтенсивність потоку вимог набагато менша, ніж у день).

Відсутність післядії в потоці означає, що події, які утворюють потік, з'являються в послідовні моменти часу незалежно одна від одної. Наприклад, потік пасажирів, які входять на станцію метро, можна вважати потоком без післядії, тому що причини, які обумовлюють прихід окремого пасажира саме в даний момент, а не в іншій, як правило, не зв'язані з аналогічними причинами для інших пасажирів.

Ординарність потоку означає, що події в потік потрапляють поодинці, а не парами, трійками і т. п. Наприклад, потік клієнтів, які прямують до перукарні, практично можна вважати ординарним, чого не можна сказати про потік клієнтів, які прямують до ЗАГСу для реєстрації шлюбу. Потік атак винищувачів на бомбардувальник, який знаходиться над

ворожою територією, ординарний, якщо вони атакують ціль поодинці, і не ординарний, якщо вони атакують парами або трійками.

Якщо в неординарному потоці події відбуваються тільки парами, тільки трійками і т.д., то можна його розглядати як ординарний «потік пар», «потік трійок» і т. д.

Якщо потік подій не має післядії, ординарний, але не стаціонарний, він називається нестаціонарним пуассонівським потоком.

Розглянемо потік подій, який володіє всією трійкою властивостей: стаціонарний, без післядії, ординарний. Такий потік зветься простішим (або стаціонарним пуассонівським) потоком. Назва «простіший» пов'язана з тим, що математичний опис подій, пов'язаних з простішими потоками виявляється найбільш простою. Відмітимо також, що простіший потік відіграє серед інших потоків особливу роль.

Якщо потік подій не має післядії, ординарний, але не стаціонарний, вінназивається нестаціонарним пуассонівським потоком. В такому потоці інтенсивність λ, (середнє число подій в одиницю часу) залежить відчасу

λ= λ(t), тоді, як для простішого потоку λ= const.

Пуассонівський потік подій (як стаціонарний, так і нестаціонарний) тісно пов'язаний з відомим розподілом Пуассона.

Окремим випадком пуассонівського закону розподілу, який описує ймовірність появи на інтервалі часу t певного числа подій, є експоненційний (показовий) закон розподілу, що описує ймовірність появи певного інтервалу часу між двома сусідніми подіями.

F(t) = 1-λe^-λt (t >0) (9.1)

Щільність розподілу часових інтервалів f(t) визначається формулою:

f(t) = λe^-λt (t >0) (9.2)

Величина X називається параметром експоненційного закону розподілу.

Числові характеристики цього закону розподілу: математичне сподівання т_t і дисперсія D_t визначаються формулами:

(9.3)

(9.4)

Середньоквадратичне відхилення випадкової величини від математичного очікування:

(9.5)

завжди дорівнює математичному очікуванню. Те ж саме стосується і їх оцінок, отриманих по результатах експерименту, що дозволяє зробити дуже важливий практичний висновок:

якщо експериментальні оцінки середньоквадратичного відхилення і математичного очікування рівні, то в якості моделі такого потоку можна прийняти розподіл Пуассона.

Недоліком експоненціального розподілу є те, що щільність експоненціального розподілу монотонно спадає, починаючи з максимального значення, визначеного для t=0, тобто імовірність появи інтервалу між двома фіксованими інтервалами зростає, коли ці значення наближаються до нуля. Але при дослідженні інтервалів часу між двома подіями часто зручно мати щільність розподілу, яка проходить через початок координат. Це відповідає тому, що імовірність коротких інтервалів дуже мала.

Найбільш придатною моделлю подібних потоків подій є потоки Ерланга, які часто називають потоками з післядією. Ці потоки утворюються в результаті «просіювання» простіших потоків.

Розглянемо на осі простіший потік подій (рис.9.3) і збережемо в ньому не всі точки, а тільки кожну другу, інші відкинемо (на рис.9.3), точки, які ми зберігаємо, показані жирними. В результаті такої операції «розрідження» або «просіювання» утворюється інший потік подій; який називається потоком Ерланга другого порядку.

Рис.9.3 Приклад формування потоку Ерланга 2-го порядку

Взагалі, потоком Ерланга к-го порядку називається потік, який утворюється, якщо в простішому потоці зберегти кожну к-ту точку, а решту відкинути.

Щоб визначити, як розподіляються проміжки часу між подіями в потоці Ерланга k-ro порядку, необхідно встановити закон розподілу. Закон розподілу інтервалу часу Т між сусідніми подіями в потоці Е_к називається законом Ерланга к-то порядку:

(9.6)

де f_k^t - імовірність очікування тривалістю t для k-гo прибуття або здійснення

k-ї;

k, - параметр розподілу Ерланга;

k - ціле додатне число;

Λ_к - інтенсивність подій вхідного потоку.

Виразимо інтенсивність Λ_к та дисперсію самого потоку Ерланга через інтенсивність породжуючого його вхідного потоку λ:

Λ_к= λ/ k; λ= k Λ_к (9.7)

При цьому середній інтервал часу між подіями та його середньо-квадратичне відхилення визначаються як

(9.8)

З цих формул слідує, що при необмеженому зростанні параметра к середньоквадратичне відхилення прямує до нуля, тобто розкид статистичних характеристик зменшується. Це означає, що при зростанні параметра к потік Ерланга заданої інтенсивності необмежено наближається до регулярного потоку з постійним інтервалом між подіями:

Т=1/Λ_к – const. (9.9)

Ця властивість потоків Ерланга зручна при практичному використанні: задаючись різними к, можна отримувати потоки, яким притаманна різна післядія - від цілковитої відсутності післядії (k=1) дожорсткого функціонального зв'язку між моментами появи подій . Тому можна вважати, що параметр к вказує на міру післядії та ступінь регулярності потоку.

Дата добавления: 2014-12-29