Решение. Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца

Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца

Определение. Минором элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе -го порядка строки и столбца, содержащих элемент .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на

Теорема. Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

где

где

Последние равенства называются соответственно разложениями определителя матрицы по элементам i-й строки и j-го столбца и могут быть использованы для вычисления определителей матриц.

Пример 1. Вычислить определитель, разлагая его по элементам третьего столбца:

1.5. Свойства определителей го порядка.

Вычисление определителя матрицы с помощью формул разложения по строке или столбцу – достаточно трудоемкое дело. Используя свойства определителя матрицы, можно значительно упростить его вычисление. Свойства определителя матрицы:

1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значения определителя не изменяется, т.е.

2. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя, т.е.

3.

Т.е. если каждый элемент -го столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых , то это определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме - го, те же самые, что и исходном определителе, - й столбец в первом слагаемом состоит из элементов а втором слагаемом – из элементов . Аналогичное утверждение справедливо и для строк.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, т.е.

Замечание 1. Если в определителе порядка n имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по этому столбцу (строке), сведем вычисление определителя n-го порядка к вычислению единственного определителя прядка (n-1).

Замечание 2. Если же в определителе n-го порядка нет столбца (строки), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то используя свойство 5 определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранном столбце (строке) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

Пример 1. Вычислить определитель:

Дата добавления: 2014-12-29