Ранг матрицы. Выберем в матрице размера произвольные строк и столбцов,

Выберем в матрице размера произвольные строк и столбцов, Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка, определитель которой называется минором -го порядка матрицы . Элементы матрицы являются минорами первого порядка.

Определение. Минор -го порядка матрицы называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры высшего порядка равны нулю, либо не существуют.

Определение. Порядок базисного минора называют рангом матрицы.

Вычисление ранга матрицы.

1. Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг матрицы равен нулю).

2. Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

3. Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю. Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор -го порядка, не будут равны нулю, либо будут исчерпаны все окаймляющие миноры. В этом случае ранг матрицы равен ,если такого нет, то ранг матрицы равен нулю.

Определение. Матрицы размера называется трапецеидальной, если она имеет вид

где отличны от нуля.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов можно превратить в трапецеидальную.

Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы и ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк, то для отыскивания ранга матрицы надо:

1) элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапецеидальную;

2) подсчитать число ненулевых строк в трапецеидальной матрице.

Пример 1. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы

Решение. Превратим данную матрицу в трапецеидальную с помощью элементарных преобразований:

Таким образом, ранг матрицы равен rang A=3.

Дата добавления: 2014-12-29