Решение системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид

где - коэффициент при неизвестных; - свободные члены

Определение. Прямоугольная таблица чисел, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы.

Определение. Расширенной называется матрица, которая получается приписыванием к матрице системы столбца свободных членов.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Теорема 1. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Определение. Совместная система уравнений имеет либо одно, либо бесконечно много решений. В первом случае она называется определенной, а во втором – неопределенной.

Определение. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Теорема 3. Если система уравнений содержит уравнение

называемое противоречивым, то она несовместна.

Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

Замечание. Если в системе вычеркнуть одно или несколько уравнений

называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равносильную исходной.

Определение. Следующие преобразования системы линейных уравнений, называемые элементарными:

1) умножение какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;

2) прибавление к обеим частям -го уравнения соответствующих частей -го уравнения, умноженных на число .

Для системы линейных алгебраических уравнений элементарные преобразования являются тождественными.

Дата добавления: 2014-12-29