Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим функцию , которая имеет производные любого порядка в окрестности точки . Выражение

называется рядом Тейлора для функции .

Ряд Тейлора можно представить в виде:

Ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда В этом случае справедливо равенство , которое означает, что суммой ряда является функция в некоторой окрестности точки .

Если в ряде Тейлора положить , то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

(запись означает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих k, той же четности, что и число k, т.е. либо всех четных, либо всех нечетных. Например, а ).

Пример 13. Разложить функцию в ряд по степени х.

Решение. Представим исходную функцию в виде суммы простейших дробей:

.

Функция является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии при :

.

Вторую дробь после тождественного преобразования также раскладываем в ряд:

в области .

Таким образом:

в области .

ГЛАВА 9. ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Дата добавления: 2014-12-29