Точечные оценки

Прежде чем рассматривать оценки, необходимо знать, как строится сам параметр.

О. 1. Среднее арифметическое значений признака ГС называется генеральной средней (х _г).

Формулы для вычисления х _г следующие:

, если x_i различны.

, если данные сгруппированы (x_i имеют частоты N_i).

Пусть для изучения ГС извлечена выборка объема n.

О. 2. Среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности (выборки) называется выборочной средней ().

Для дискретного ряда

,если все x_i различны,

или ,если данные сгруппированы (x_i имеют частоты n_i).

Для интервального ряда

.

Выборочную среднюю принимают в качестве оценки для ГС, и эта оценка является несмещенной, т. е. . Она является также и состоятельной. При увеличении объема выборки ,
и для разных выборок значения примерно будут равны между собой.

О. 3. Генеральной дисперсией (D _г) называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака ГС от генеральной средней.

Формулы для вычисления D _г следующие:

, если x_i различны;

, если значения сгруппированы (x_i имеют частоты N_i).

О. 4. Генеральным средним квадратическим отклонением (σ_г) называется корень квадратный из генеральной дисперсии:

.

Для выборки вводят аналогичные понятия, формулы которых определяются по тем же законам.

О. 5. Выборочной дисперсией (D _в) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от среднего значения.

Для дискретного ряда

, если x_i различны,

или

, если данные сгруппированы (x_i имеют частоты n_i).

Для интервального ряда

, где – середины i-х интервалов.

О. 6. Выборочным средним квадратическим отклонением (σ_в) называется корень квадратный из выборочной дисперсии:

.

Вычисление D _в можно упростить:

Итак,

Примечание. Эта формула может быть использована для контроля верности вычислений.

К сожалению, D является смещенной оценкой, т. к. .

И хотя в некоторых случаях ее можно использовать, для более тонких исследований вводят понятие несмещенной или исправленной выборочной дисперсии ():

.

Выражение естьисправленное среднее квадратическое отклонение (СКО).

Способы вычисления точечных оценок

I. Если первоначальные варианты x_i большие числа, то для упрощения расчетов переходят к условным вариантам u_i, где , – «ложный» нуль, т. е. число, близкое к выборочной средней, выбирается «на глаз» в середине ряда.

В этом случае .

Дисперсия при этом не изменится. Действительно, по свойствам дисперсии D (x) = D (u + c) = D (u). Тогда

.

II. Для равномерного ряда удобно использовать метод произведений, когда выборочная средняя и выборочная дисперсия находятся по формулам

,

,

где u_i = (x_i – C)/Δ x – условная варианта; и D _в(u) – выборочная средняя и дисперсия этой варианты, вычисляемые по известным формулам (см. образец выполнения типового расчета, п. 5.5).

Дата добавления: 2014-12-29