Элементы корреляционно-регрессионного анализа

Существуют разные типы зависимостей между случайными величинами X и Y, например, функциональная и статистическая (стохастическая).

О. 1. Связь признака Y с X называется функциональной (жестко детерминированной), если каждому возможному значению независимого признака X соответствует единственное значение зависимого признака Y, т. е. .

В реальной социально-экономической ситуации ввиду неполноты информации, как правило, нет указаний на характер функции, связывающей разные случайные величины. В этом случае между признаками может существовать стохастическая (вероятностная) связь.

О. 2. Зависимость величины Y от X называется стохастическойили статистической, если каждому значению независимого признака X соответствует не одно, а множество значений переменной Y, причем заранее неизвестно, какое из них переменная Y примет при каждом конкретном значении Х.

О. 3. Корреляционная зависимость – зависимость случайных величин (признаков), при которой изменение статистического распределения одной случайной величины вызывает изменение среднего значения другой случайной величины.

Основной задачей корреляционного анализа является вопрос: существует ли между признаками X и Y корреляционная зависимость.

О. 4. Показатель тесноты связи между признаками (с.в.) X и Y

называется коэффициентом корреляции.

Примечание. Коэффициент корреляции . Знак коэффициента характеризует направление взаимосвязи, а абсолютная величина – степень тесноты рассматриваемой взаимосвязи. Причем если

X и Y не коррелированы;

связь между X и Y практически отсутствует;

корреляционная связь слабая;

корреляционная связь достаточно сильная (коэффициент корреляции значим);

высокая степень корреляционной зависимости (коэффициент корреляции значим);

наличие строгой функциональной связи, а не статистической.

Кроме того, значимость коэффициента корреляции можно выявить проверкой соответствующей гипотезы.

Если , то X и Y называются коррелированными.

О. 5. Функция , описывающая изменения среднего группового значения переменной Y при изменении значений x переменной X, называется функцией регрессии Y на X.

О. 6. График функции регрессии называется линией регрессии.

Основной задачей регрессионного анализа является определение типа связей между признаками X и Y.

Для двух ГС существуют следующие виды связей: линейная связь (представляется уравнениями первой степени) и криволинейная (представляется, например, степенной, гиперболической, показательной, логарифмической и другими функциями).

О. 7. Если обе линии регрессии Y на X и Х на Y – прямые,
то корреляцию называют линейной.

Выборочные уравнения прямой линии регрессии имеют вид

Y на X ,

X на Y .

Здесь r _в – выборочный коэффициент корреляции, который определяется по формуле

,

где x, y – наблюдаемые варианты признаков X и Y; σ _x,σ _y – выборочные СКО; – выборочные средние; – частота пары вариант (x; y); n – объем выборки.

6.1. Решение типовых задач (типового расчета)

На 55 полей агропромышленного комплекса были внесены удобрения в разных количествах (с.в. Y, ц/га). После уборки хлеба была изучена урожайность каждого поля (параметр X, ц/га). Получена корреляционная таблица. Определить значение коэффициента корреляции, в случае его значимости найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y. Построить эти линии на плоскости.

Y	X	ny
nx							n = 55

Решение. Для удобства арифметических расчетов перейдем
к условным вариантам u и v по формулам

, ,

где С ₁ = 155 – «ложный нуль» для варианты u; С ₂ = 50 – «ложный нуль» для варианты v; h ₁ = 30, h ₂ = 10 – длина интервала соответствующей варианты.

Составим корреляционную таблицу для условных вариант
u и v.

v	u	nv
–3	–2	–1
–2
–1
nu							n = 55

Найдем выборочные средние условных вариант u и v.

Выборочное среднее для варианты u находим по формуле

Найдем вспомогательные величины :

Найдем СКО для условных вариант:

Составим расчетную таблицу (табл. 3) для нахождения выборочного коэффициента корреляции.

Суммируя числа последнего столбца расчетной таблицы, находим

.

Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки:

.

Совпадение свидетельствует о правильности вычислений.

Пояснения к составлению расчетной таблицы 3

1. Произведение частоты n_uv на варианту u, т. е. , записывают в правом верхнем углу клетки, содержащей значение частоты. Например, в правом верхнем углу клетки первой строки записано произведение: 5∙(–3) = –15, во второй строке в правом верхнем
углу: 4×(–3) = –12, 12×(–2) = –24 и т. д.

2. Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной строки, и их сумму помещают в клетку этой же строки «столбца U». Например, для первой строки u = –15, для второй u = –36 и т. д.

3. Умножают варианту v на U и полученное произведение записывают в соответствующую клетку «столбца vU». Например,
в первой строке таблицы v = –2, U = –15, следовательно,
vU = (–2)∙(–15) = 30 и т. д.

4. Сложив все числа «столбца vU», получают сумму , которая равна искомой сумме . Например, для расчетной таблицы , следовательно, искомая сумма = 69.

Таблица 3

Расчетная таблица для нахождения выборочного коэффициента корреляции

u v

–3

–2

–1

–15

–2

–

–

–

–

–

–15

–10

–12

–24

–1

–

–

–

–

–36

–4

–12

–16

–5

–

–

–

–21

-2

-5

–3

–

–3

–

–

–

–

V

–14

–11

–5

Контроль

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения записывают в левый нижний угол клетки, содержащей значение частоты; все числа, помещенные в левых нижних углах клеток одного столбца, складывают и их сумму помещают в «строку V»; затем умножают каждую варианту u на V
и результат записывают в клетках последней строки.

Сложив все числа последней строки, получают сумму , которая также равна искомой сумме . Например, для расчетной таблицы , следовательно, .

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

.

Поскольку , то коэффициент корреляции значим
и степень корреляционной зависимости высокая.

Тогда по условию задачи найдем выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y.

Уравнение линии регрессии Y на Х имеет вид

.

Найдем , , как в предыдущей задаче:

;

Подставив найденные величины в уравнение, получим

или окончательно . Это и есть искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X.

Используя найденные параметры, найдем уравнение прямой линии регрессии X на Y:

или окончательно .

Корреляционное поле и графики линий регрессий представлены на рис. 22.

Рис. 22. Линии регрессий

Вывод: из рис. 22 следует, что при среднем внесении удобрений 50 ц на гектар средняя урожайность будет 119 ц с гектара.

Примечание. Метод условных вариант применяется при отсутствии хорошей вычислительной техники. Современные промышленные пакеты для ПК позволяют выполнить расчеты гораздо быстрее. Попробуйте, пользуясь пакетом Excel, провести вычисления без перехода к условным вариантам и сравните результаты.

Дата добавления: 2014-12-29