Одинаковое число испытаний на всех уровнях

Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть на количественный, нормально распределенный признак Х воздействует фактор F, который имеет р постоянных уровней. На каждом уровне произведено по q испытаний. Результаты наблюдений – числа (i – номер испытания, i = 1, 2, 3, …, q; j – номер уровня фактора, j = 1, 2, 3,…, р) – записывают в виде таблицы (табл. 4).

В последней строке табл. 4 вычислены средние значения измерений для каждого уровня.

Ставится задача: при уровне значимости a проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних при допущении,
что групповые генеральные дисперсии хотя и не известны, но одинаковы.

Таблица 4

Номер испытания	Уровни фактора
i			…
			…
			…
…	…	…	…	…
q			…
Групповая средняя			…

Для решения этой задачи вводятся следующие определения.

О. 1. Общей средней является величина, равная

.

О. 2. Общей суммой квадратов отклонений измеренных значений от общей средней называется выражение

.

О. 3. Факторной суммой квадратов отклонений групповых средних от общей средней называется выражение

.

О. 4. Остаточной суммой квадратов отклонений наблюдаемых значений от групповых средних является сумма

.

Примечание. Обычно остаточную сумму находят как разность общей и факторной сумм:

.

Полученная формула является основным тождеством дисперсионного анализа.

Выдвигаем гипотезу H ₀: групповые средние равны. Конкурирующая гипотеза H ₁: групповые средние не равны.

Для проверки нулевой гипотезы используем критерий Фишера-Снедекора, то есть случайную функцию :

,

где и являются несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы:

, .

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому
в первом случае число степеней свободы равно (р – 1), так как при его расчете используют р групповых средних, связанных между собой одним уравнением. А во втором случае число степеней свободы равно (pq – p) = p (q – 1), так как при его расчете используют все pq наблюдений, связанных между собой р уравнениями.

Затем по таблице распределения Фишера-Снедекора (табл. П. 6) по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы и находим величину .

Если , то гипотеза о равенстве групповых средних отвергается (т. е. влияние фактора на количественный признак Х значимо).

Если , то гипотеза о равенстве групповых средних принимается (т. е. фактор на количественный признак Х не влияет).

Дата добавления: 2014-12-29