Тема 3. Выборочное наблюдение

Для изучения вкладов населения в коммерческом банке города была проведена 5%-я случайная выборка лицевых счетов, в результате которой получено следующее распределение клиентов по размеру вкладов:

Размер вклада, у.е.	До 5000	5000-15000	15000-30000	30000-50000	Свыше 50000
Число вкладчиков, чел

С вероятностью 0,954 определить:

1) средний размер вклада во всем банке;

2) долю вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 15000 у.е.;

3) необходимую численность выборки при определении среднего размера вклада, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е.;

4) необходимую численность выборки при определении доли вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 30 000 у.е., чтобы не ошибиться более чем на 10%.

Решение. Выборочный метод (выборка) используется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за огромного массива данных или экономической нецелесообразности. Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр (например, среднее значение – или долю какого-то признака – р) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. Для этого необходимо определить изучаемый параметр по данным выборки (выборочную среднюю – и/или выборочную долю – w) и его дисперсию (Д_в). Для этого построим вспомогательную таблицу 3.

Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Xi	fi	Х И	X И fi	(Х И - )^2	(Х И - )^2fi
До 5000				440.286.289	8.805.725.780
5000-15000				181.791.289	11.816.433.785
15000-30000					135.280.460
30000-50000				272.811.289	20.460.846.675
Свыше 50000				1.522.326.289	7.611.631.445
Итого					48.829.918.145

По формуле (18) получим средний доход в выборке: = 7162500/305 = 23483 (у.е.). Применив формулу (33) и рассчитав ее числитель в последнем столбце таблицы, получим дисперсию среднего выборочного дохода: Д_в = 7.611631.445/305 = 24.956.168.

Затем необходимо определить предельную ошибку выборки по формуле (39)[1]:

= t , (39)

где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки; – средняя ошибка выборки, определяемая для повторной выборки по формуле (40), а для бесповторной – по формуле (41):

= , (40) = , (41)

где n – численность выборки; N – численность генеральной совокупности.

В нашей задаче выборка повторная, значит, применяя формулу (40), получим среднюю ошибку выборки при определении среднего возраста в генеральной совокупности: = = = 286.047(у.е.).

Для определения средней ошибки выборки при определении доли вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 15000 у.е. в генеральной совокупности необходимо определить дисперсию этой доли. Дисперсия доли альтернативного признака w (признак, который может принимать только два взаимоисключающих значения – например, больше или меньше определенного значения) определяется по формуле (42):

.(42)

В нашей задаче долю альтернативного признака (вкладчики с размером вклада свыше 15000 у.е.) найдем как отношение числа таких вкладчиков к общему числу вкладчиков в выборке: w = (140+75+5)/305 = 0,69 или 69%. Теперь определим дисперсию этой доли по формуле (42): =0,69*(1-0,69) = 0,21. Теперь можно рассчитать среднюю ошибку выборки по формуле (41): = = =0,047 или 4,7%.

Значения вероятности и коэффициента доверия t имеются в математических таблицах нормального закона распределения вероятностей (если в выборке более 30 единиц), из которых в статистике широко применяются сочетания, приведенные в таблице 4:

Таблица 4. Значения интеграла вероятностей Лапласа

	0,683	0,866	0,950	0,954	0,988	0,997
t		1,5	1,96		2,5

В нашей задаче = 0,954, значит t = 2 (то есть предельная ошибка выборки в 2 раза больше средней). Предельная ошибка выборки по формуле (39) будет равна: = 2*286,047 = 572,094 (у.е.) при определении среднего дохода; = 2*0,047 = 0,094 или 94% при определении доли вкладов свыше 15000 у.е.

После расчета предельной ошибки находят доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности по формуле (43) – для средней величины и по формуле (44) – для доли альтернативного признака:

( - ) ( + ) (43) (w - ) p (w + )(44)

В нашей задаче по формуле (43): 23483-572,094 23486+572,094 или 22910 у.е. 24055 у.е., то есть средний вклад всех вкладчиков банка с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 22910 до 24055 у.е.

Аналогично определяем доверительный интервал для доли по формуле (44): 0,69-0,094 p 0,69+0,094 или 0,596 p 0,784, то есть доля вкладчиков с размером вклада свыше 15000 у.е во всем банке с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 59,6% до 78,4%.

При разработке программы выборочного наблюдения очень часто задается конкретное значение предельной ошибки () и уровень вероятности (). Неизвестной остается минимальная численность выборки (n), обеспечивающая заданную точность. Ее можно получить, если подставить формулу (40) или (41) в формулу (39) и выразить из них n. В результате получатся формулы для вычисления необходимой численности повторной (45) и бесповторной (46) выборок.

n_повт = ;(45) n_б/повт = . (46)

В нашей задаче выборка бесповторная, значит, воспользуемся формулой (45), в которую подставим уже рассчитанные дисперсии среднего выборочного вклада(Д_в = 24.956.168) и доли вкладчиков с размером вклада свыше 15000 у.е. (Д_в = 0,21):

n_повт = = = 400(чел.),

n_повт= = =84 (чел.).

Таким образом, необходимо включить в выборку не менее 400 вкладчиков при определении среднего месячного вклада вкладчиков банка, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е., и не менее 84 вкладчиков при определении доли вкладчиков с размером вклада свыше 15000 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 10%.

Дата добавления: 2014-12-23