Биофизика кровообращения

Реальная жидкость в отличие от идеальной обладает внутренним трением (вязкостью). Вязкость жидкости обусловлена в первую очередь межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул [3]. Основным законом вязкого течения является уравнение Ньютона:

, (2.1)

где - сила внутреннего трения; - вязкость; - градиент скорости в направлении движения жидкости; - площадь соприкосновения слоёв.

Ньютоновские жидкости характеризуются коэффициентом вязкости, зависящим только от их природы и температуры. Вязкость неньютоновских жидкостей также зависит от давления и градиента скорости. Таким образом, вязкость неньютоновских жидкостей не является постоянной величиной.

Кровь - неньютоновская жидкость, она представляет собой суспензию форменных элементов в растворе плазмы. Достаточным приближением для вычисления вязкости являются следующие соотношения [6]:

(2.2)

где - вязкость крови; - вязкость плазмы; - вязкость воды; - гематокрит - относительная величина объёма крови, занимаемая эритроцитами; - концентрация белков плазмы крови. Кроме того, величина гематокрита оказывает влияние также на плотность крови:

, (2.3)

где - плотность плазмы крови [6].

Для тел шарообразной формы, движущихся с небольшой скоростью, сила сопротивления жидкости определяется законом Стокса:

, (2.4)

где - сила стокса; - радиус шара; - скорость движения шара.

Используя закон Стокса, можно получить следующее выражение для вязкости жидкости:

. (2.5)

Движение жидкости, при котором её слои движутся относительно друг друга не перемешиваясь, называется ламинарным. Движение жидкости, при котором частицы жидкости испытывают вращательное движение, т.е. в котором происходит перемешивание между слоями, называется турбулентным. Скорость течения жидкости, при котором происходит переход из её ламинарного течения в турбулентное, определяется числом Рейнольдса:

, (2.6)

где - диаметр трубы, по которой течёт жидкость, м; - скорость течения жидкости, м/с; - плотность жидкости,кг/м³.

Течение жидкости математически описывается функциями давления в жидкости , плотности и скоростей . Дифференциал вектора скорости жидкости можно представить в виде

. (2.7)

Поделив уравнение (2.7) на величину , получим

. (2.8)

Силы, действующие в жидкости, разделяются на объёмные:

, (2.9)

где - объёмная сила, действующая на единичный объём среды , и поверхностные:

, (2.10)

где - поверхность, ограничивающая объём среды.

Воспользуемся формулой Остроградского:

(2.11)

и запишем второй закон Ньютона для единичного объёма жидкости:

. (2.12)

Уравнение (2.12) называется уравнением Эйлера. В случае произвольного движения вязкой несжимаемой жидкости её единичный объём подвергается воздействию вязкой объёмной силы (при ):

. (2.13)

Добавляя выражение (2.13) в уравнение (2.12), а также с учётом уравнения (2.8), получаем уравнение Навье - Стокса для вязкой несжимаемой жидкости:

. (2.14)

Объёмный расход жидкости определяется следующим образом:

. (2.15)

В соответствии с законом сохранения массы убыль массы в рассматриваемом объёме в единицу времени равна потоку жидкости через ограничивающую этот объём поверхность. Для единичного объёма этот закон выражается в форме уравнения непрерывности:

. (2.16)

Таким образом, получаем систему уравнений, описывающую течение жидкости:

(2.17)

Введём условия несжимаемой жидкости: жидкость должна быть постоянной плотности .

Рассмотрим течение несжимаемой жидкости между двумя параллельными пластинами (течение Пуазейля) (рис.2.1).

Считаем, что жидкость течёт вдоль оси z:

, . (2.18)

Из уравнения неразрывности следует

.

Рис.2.1. Схема течения жидкости между двумя пластинами

Запишем уравнение Навье - Стокса для жидкости:

. (2.19)

Поскольку поверхностный слой жидкости на пластинах не движется, а давление изменяется по оси z линейно, имеем следующие граничные условия:

, , . (2.20)

Решение уравнения (2.19) при заданных граничных условиях запишем в виде

. (2.21)

Для течения Пуазейля в круглой трубе можно получить при аналогичных условиях следующее распределение скоростей:

. (2.22)

Из выражения (2.22) можно рассчитать массовый расход жидкости в круглой трубе радиусом :

. (2.23)

Объёмный расход жидкости равен:

. (2.24)

Величина называется гидравлическим сопротивлением трубки.

Недостатком течения Пуазейля является то, что полученные выражения не учитывают эластичность сосудов, пульсации потока, растворимость газов и турбуленцию.

Растяжение и сжатие стенок сосудов обеспечивает более равномерное протекание в ней крови при пульсирующей работе сердца. Деформация стенки распространяется вдоль сосудов и образует пульсовую волну. Скорость пульсовой волны можно приближенно определить по формуле

, (2.25)

где E - модуль Юнга для материала сосудов; D и d - соответственно ее внешний и внутренний диаметры; ρ - плотность крови в сосуде.

Рассмотрим особенности сердечно-сосудистой системы, а также основные подходы к её математическому моделированию.

Основными элементами системы кровообращения являются сердце, большие и малые артерии, артериоллы, капилляры, венулы, большие и малые вены. Сердце создаёт в аорте и лёгочной артерии периодически пульсирующий поток крови. В большом круге кровообращения пульсации по мере удаления от сердца выравниваются и практически полностью затухают в капиллярах. В малом круге кровообращения пульсирующее течение имеет место и в капиллярах и в венозных сосудах [7].

Давление монотонно убывает по кругу кровообращения, наибольшие потери приходятся на артериоллы и капилляры. Для больших сосудов ни концентрационные эффекты, ни неньютоновские свойства крови, по-видимому, особой роли не играют. Для малых сосудов эти факторы могут быть существенными. Стенки почти всех кровеносных сосудов обладают способностью к деформациям [7]. Считается, что течение крови в сосудах ламинарное. Однако турбулентное движение может возникать при некоторых условиях, например при низкой вязкости крови или большом ветвлении сосудов и пр.

Первым подходом к моделированию системы кровообращения была модель Франка (1899 г.) – «Модель упругой камеры». Артериальная система моделируется эластичной камерой со входом и выходом, сердце работает с заданным расходом крови , капиллярная и венозная системы моделируются жёсткой трубкой с постоянным гидравлическим давлением :

, (2.26)

где - модуль объёмной упругости.

Задавая величину расхода крови, например , можно получить . В этой модели непонятно, как величина E связана с реальными параметрами артериальной системы.

Рассмотрим другой подход, описанный в [7]:

(2.27)

где - средняя скорость крови в артериальной системе; - эластичность сосудов.

Второе уравнение системы описывает распространение пульсовых волн со скоростью . Если известна скорость распространения, то, считая артериальную систему цилиндрической с поперечным сечением и длиной ( - период пульсовой волны), получим .

Дальнейшие усовершенствования модели позволяют записать её в виде

, (2.28)

где - расход через артериальную систему; - относительная объёмная упругость стенок сосудов; - утечки.

Можно отметить, что связь расхода и давления в (2.28) аналогична связи между током и напряжением в уравнениях, описывающих простую электрическую линию.

Задания для работы на семинарах

1. Выведите выражение для распределения скоростей в круглой трубе.

2. Рассчитайте число Рейнольдса, используя выражение для объёмного расхода.

3. Определите скорость осаждения эритроцитов (СОЭ) в плазме крови (в мм/ч), исходя из предположения, что они имеют форму шариков диаметром 7 мкм и не склеиваются между собой (плотность эритроцитов 1090 кг/м³).

4. Определите коэффициент вязкости крови лошадей, если плотность крови 1050 кг/м³, плотность эритроцитов 1,09∙10³ кг/м³, радиус эритроцитов 6 мкм, СОЭ в норме 64 мм/ч.

5. Сравните гидравлическое сопротивление аорты (8 мм), артерии (1,5 мм), артериолы (0,04 мм) и капилляра (0,008 мм) на участке сосуда длиной 50 см, если известно, что вязкость крови 0,04 Па∙с.

6. Определите вязкость плазмы, если вязкость крови 0,004 Па∙с, а гематокрит 0,3. Как изменится значение гематокрита при изменении вязкости плазмы от 1,2∙10^–3 до 2,8∙10^–3 Па∙с.

7. Скорость течения воды в некотором сечении горизонтальной трубы 5 см/с. Найдите скорость течения в той части трубы, которая имеет вдвое меньший диаметр, вдвое меньшую площадь поперечного сечения.

8. Каково гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда длиной 0,12 м и радиусом 0,1 мм?

9. Вычислите скорость пульсовой волны в сосуде, если модуль Юнга для стенок сосуда Е = 2,16∙10¹¹ Па, = 0,9.

10. Вода течет по трубе так, что за 1 с через поперечное сечение трубы протекает 200 см³ воды. При каком предельном значении диаметра трубы движение воды остается ламинарным? Считать Re_кр = 3000.

11. Запишите проекции уравнения Навье - Стокса в декартовой системе координат.

12. Запишите проекции уравнения Навье - Стокса в цилиндрической системе координат.

13. Проведите параллель между выражением (2.24) и законом Ома для участка цепи.

14. Каково гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда длиной 10 мм и радиусом 0,1 мм?

Дата добавления: 2014-12-29