Биофизика сложных систем

Математическая модель пищеварения. Пищеварение - это совокупность процессов физической и химической переработки пищи в организме, обеспечивающих расщепление питательных веществ, их всасывание из пищеварительного тракта в кровь.

У человека пищеварение начинается в ротовой полости, где пища пережёвывается. На этом этапе происходит расщепление полисахаридов. При этом происходит выделение слюны, что облегчает прохождение пищи по пищеводу. После прохождения пищевода пища попадает в желудок. Там она смешивается с желудочным соком, активными компонентами которого являются соляная кислота и пищеварительные ферменты, расщепляющие белки до аминокислот, полипептидов и олигопептидов [9]. Из желудка пища попадает в тонкий кишечник. Первый отдел тонкого кишечника - двенадцатиперстная кишка, в которой происходит смешивание пищи с желчью. В тонком кишечнике расщепляются углеводы и белки. В тонкой кишке происходит основной объём всасывания питательных веществ. Из тонкого кишечника пища попадает в толстую кишку, в которой происходит всасывание воды и некоторых питательных веществ, таких как витамины, здесь же происходит и формирование каловых масс.

Рис.6.1 иллюстрирует общую схему пищеварительного процесса. Концепция моделирования заимствована из работы [10], посвящённой математическому моделированию пищеварения свиней и адаптирована под специфику пищеварительной системы человека. Введём следующие обозначения: - потоки пищевых масс (k 1, k 2 – обозначают из какого и в какой отдел ЖКТ пищевые массы переходят); - потоки составляющих пищевой массы (i - номер составляющей пищевой массы); - общий поток абсорбированного вещества в k -м отделе ЖКТ; - потоки абсорбции отдельных составляющих в k -м отделе ЖКТ; - потоки ферментов, секретируемых организмом для переваривания i -й составляющей пищевой массы в k -м отделе ЖКТ.

Рис.6.1. Модельная схема пищеварительного процесса

Систему уравнений, моделирующую подобную схему пищеварения, запишем в виде:

(6.1)

где - масса i -й составляющей пищевой массы отдела k; - поток продуктов расщепления i -й составляющей пищевой массы под воздействием ферментов; - поток убыли ферментов и i -х составляющих пищевой массы вследствие её ферментативного преобразования.

В уточнённом виде каждый отдел ЖКТ содержит дополнительные подразделы, более подробно отражающие потоки составляющих пищевой массы. Таких подразделов в уточнённой схеме более 30.

При этом потоки можно выражать следующим образом:

, (6.2)

где - максимальная скорость потока абсорбции i -й составляющей в отделе ; - константа Михаэлиса для потока абсорбции i -й составляющей.

, (6.3)

где - относительная скорость потока ферментов для расщепления i -й составляющей в отделе ; - общее количество пищевой массы в отделе .

, (6.4)

где - относительная скорость расщепления i -й составляющей в отделе Kпод действием соответствующего фермента.

, (6.5)

где - относительная скорость перехода пищевых масс из отдела k 1 в отдел k 2.

Оценив относительные скорости перемещения пищевых масс из одного отдела в другой, скорости расщепления отдельных компонент под воздействием ферментов, средние скорости всасывания питательных веществ и количественные величины секреции ферментов в отделах желудочно-кишечного тракта, можно рассчитать химический состав пищевых масс в каждом отделе, химический состав дефекации, потоки абсорбции аминокислот, глюкозы, минералов и т.д.

Модель транспорта кислорода в лёгких. Внешнее дыхание - это процессгазообмена между организмом и окружающей средой, включающий поглощение кислорода и выделение углекислого газа, а также транспорт этих газов внутри организма.

К воздухоносным путям, управляющим потоком воздуха, относятся нос, носоглотка, гортань, трахея, бронхи и бронхиолы. Легкие состоят из бронхиол и альвеолярных мешочков, а также из артерий, капилляров и вен легочного круга кровообращения. Дыхательные пути от трахеи до концевых дыхательных единиц (альвеол) ветвятся 23 раза. Первые 16 участков ветвления дыхательных путей - бронхи и бронхиолы выполняют проводящую функцию. Участки, на которых происходит с 17 по 22 ветвления - респираторные бронхиолы и альвеолярные ходы, составляют переходную (транзиторную) зону, и только после 23 -го ветвления дыхательные пути целиком состоят из альвеолярных мешочков с альвеолами [11].

При условии нормальной функции легких только около 2/3 каждого дыхательного объема достигает альвеол и принимает участие в газообмене. Этот объем составляет так называемую эффективную, или альвеолярную, вентиляцию.

На вентиляцию легких влияют многие неспецифические факторы. К ним, прежде всего, относятся колебания температуры окружающей среды, боль, а также переохлаждение и перегрев организма.

Величина минутного объема дыхания зависит от напряжения углекислого газа в артериальной крови и цереброспинальной жидкости. В альвеолах происходит переход кислорода в кровеносные лёгочные капилляры и углекислого газа в обратном направлении. Движущей силой этого процесса являются градиенты парциальных давлений кислорода и углекислого газа (рис.6.2).

При исследовании транспорта кислорода из альвеол в кровь важно учитывать связь диффузионных процессов с его парциальным давлением во вдыхаемом воздухе. Парциальное давление - это давление, создаваемое отдельной компонентой газа. Так, компоненты газов, в частности воздуха, стремятся переместиться из области высокого парциального давления в область низкого парциального давления. Закон Генри определяет связь между концентрацией вещества и его парциальным давлением p:

(6.6)

где коэффициент отражает растворимость вещества в рассматриваемой среде.

Сатурация крови кислородом описывается уравнением Хилла [12]:

, (6.7)

где - парциальное давление, при котором сатурация равна 0,5; для тканей.

Рис.6.2. Схема диффузии газов крови через альвеолярно-капиллярную перегородку [13]: 1 - молекулярный слой жидкости; 2 - слой клеток эпителия альвеол; 3 - межклеточная жидкость; 4 - слой клеток эндотелия капилляров; 5 – плазма крови; 6 - оболочка эритроцита

Запишем уравнение Пуассона для рассматриваемого случая в виде

, (6.8)

где - расход кислорода.

Решая (6.8) для одномерного случая, получаем:

, (6.9)

где , - константы интегрирования, которые можно найти из граничных условий , , здесь - парциальное давление кислорода в альвеоле, - парциальное давление кислорода в капилляре,

; (6.10)

. (6.11)

Определим насыщаемость крови кислородом по мере его прохождения по капилляру следующим образом:

, (6.12)

где - радиус капилляра; - объём крови, проходящий по капилляру в единицу времени; - гематокрит крови; - концентрация кислорода в эритроцитах; - расстояние, на которое диффундирует кислород, рассчитанное по одномерной модели.

Выражение (6.12) отражает линейную зависимость сатурации от расстояния, прошедшего эритроцитами в капилляре. В общем случае градиент сатурации может быть записан следующим образом [14]:

. (6.13)

При этом стоит отметить, что аналитически уравнение (6.13) не решается, поскольку парциальное давление кислорода в крови зависит от сатурации.

Модель иммунного ответа организма. Организм обладает сложной системой борьбы с чужеродными веществами - иммунитетом. Антигеном называется вещество, которое организм воспринимает как чужеродное или потенциально опасное. В ответ на проникновение в организм антигена макрофаги организма пытаются уничтожить его с помощью ферментов (неспецифическая реакция). Если этого сделать не удалось, то используются другие способы защиты. Против вирусов вырабатывается либо интерферон, который препятствует их размножению, и начинается специфическая реакция организма, при которой вырабатываются антитела для борьбы на молекулярном уровне. Для борьбы на клеточном уровне организм синтезирует специальные клетки-убийцы (Т-киллеры). Алгоритм действий иммунной системы представлен на рис.6.3.

Математическая модель, описывающая основные закономерности гумморального иммунного ответа, рассмотрена в [15]. Приведём основные положения этой модели. Предполагается, что В-клетки под действием антигена претерпевают качественные изменения: проходят три стадии (X, Y, Z). Х - это клетки-предшественники, после взаимодействия с антигеном они переходят в состояние Y (незрелые плазмациты). Клетки Y быстро делятся и постепенно приобретают способность вырабатывать специфические антитела против данного антигена. Вторичное взаимодействие клеток Y с антигеном переводит их в состояние Z, в котором они не могут делиться, зато могут производить антитела.

Концентрации растворимого антигена в крови и антител обозначим и соответственно. Тогда система уравнений, описывающая динамику клеток, может быть записана в виде

(6.14)

где - скорость поступления клеток-предшественников из костного мозга; - постоянная, характеризующая время естественной гибели клеток; - скорость размножения клеток Y, аппроксимация которой представляет собой

. (6.15)

Запишем также уравнения, описывающие динамику концентрации антигена и антител:

, (6.16)

. (6.17)

Здесь величины и характеризуют времена естественного полураспада молекул антигена и антител, и - скорости производства антител клетками Y и Z. Взаимодействие антиген-антитело описано слагаемым .

Рис.6.3. Схема иммунного ответа организма

Задания для работы на семинарах

1. Рассмотрите одномерный случай сатурации крови для капилляра с внутренним радиусом и внешним радиусом в цилиндрической системе координат, считая, что поток крови в капилляре пренебрежимо мал.

2. Нарисуйте графики зависимости парциального давления кислорода и углекислого газа от расстояния в стенке капилляра, если см³/с, см³О₂/см³/мм рт. ст., см³О₂/см³/с.

3. Запишите систему уравнений, отражающую динамику иммунного ответа при инфекционной болезни, т.е. когда защита происходит на клеточном уровне.

Литература

1. http://ru.picscdn.com/domain/basket.com.ua/ (дата обращения 12.01.2012).

2. Большая советская энциклопедия. - URL: http://bse.sci-lib.com/

3. Рубин А.Б. Биофизика. - М.: Изд-во МГУ, - 2004. - 469 с.

4. http://moikompas.ru/compas/lipid_oxidation (дата обращения 5.03.2012)

5. Malmivuo J., Plonsey R. Bioelectromagnetism. Principles and Applications of Bioelectric and Biomagnetic Fields. – N. Y.– Oxford: Oxford University Press, 1995.

6. Eloot S., De Wachter D., Van Tricht I., Verdonck P. Computational Flow Modeling in hollow-fiber dialyzers // Artifitial Organs. - 26(7). - 2002. - P. 590 - 599.

7. Павловский Ю.Н., Регирер С.А., Скобелева И.М. Гидромеханика. Гидродинамика крови // Итоги науки. - 1968.- С. 339.

8. http://katie-humanbio.blogspot.com. (дата обращения 13.02.2012)

9. Пищеварение. - URL: http://ru.wikipedia.org (дата обращения 5.03.2012).

10. Bastianelli D., Sauvant D., Rerat A. Mathematical modeling of digestion and nutrient absorption in pigs. Journal of Animal Science.- 1996. Vol. 74. - P. 1873 - 1887.

11. Внешнее дыхание. - URL: http://medicine4u.ru/article/a-1785.html. (дата обращения 5.03.2012).

12. Mathematical Models of Oxygen Flow in the Microcirculation. - http://math.arizona.edu/~ura-reports/064/Pierce.Cheyne/Final.pdf. (дата обращения: 1 марта 2012 г).

13. http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_medicine/7410/Газообмен.
(дата обращения 15.02.2012)

14. Theoretical Models of Oxygen Transport http://math.arizona.edu/~ura-reports/071/Pierce.Cheyne/Final.pdf. (дата обращения: 1 марта 2012 г).

15. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. - М.: Наука, 1984. - С. 304

Содержание

Предисловие.............................................................................................. 3

1. Биофизика клетки................................................................................ 5

2. Биофизика кровообращения............................................................. 18

3. Биофизика мышечного сокращения............................................... 26

4. Биофизика гормональной регуляции............................................. 34

5. Термодинамика открытых систем.................................................. 38

6. Биофизика сложных систем.............................................................. 44

Литература................................................................................................ 53

Учебное пособие

Базаев Николай Александрович

Дата добавления: 2014-12-29