Проверка статистических гипотез

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Простая гипотеза однозначно определяет функцию распределения на множестве. Простые гипотезы имеют узкую область применения, ограниченную критериями согласия (см. ниже). Для простых гипотез известен общий вид равномерно более мощного критерия (Теорема Неймана-Пирсона). Сложная гипотеза утверждает принадлежность распределения к некоторому множеству распределений. Для сложных гипотез вывести равномерно более мощный критерий удаётся лишь в некоторых специальных случаях. При проведении экономико-статистических исследований в первую очередь приходится решать задачи статистической проверки гипотез о:

· принадлежности «выделяющихся» единиц исследуемой выборочной совокупности генеральной совокупности;

· виде распределения изучаемых признаков;

· величине средней арифметической и доли;

· наличии и тесноте связи между изучаемыми признаками.

Методика проверки состоит в следующем. Формулируется нулевая гипотеза о распределении вероятностей на множестве. Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая и альтернативная. Иногда альтернатива не формулируется в явном виде. Иногда рассматривается сразу несколько альтернатив. В математической статистике хорошо изучено несколько десятков «наиболее часто встречающихся» типов гипотез, и известны ещё сотни специальных вариантов и разновидностей. Примеры приводятся ниже.

Задаётся некоторая статистика (функция выборки), для которой в условиях справедливости гипотезы выводится функция распределения и/или плотность распределения. Вопрос о том, какую статистику надо взять для проверки той или иной гипотезы, часто не имеет однозначного ответа. Есть целый ряд требований, которым должна удовлетворять «хорошая» статистика.

Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки.

Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение. Статистический критерий определяется статистикой и критическим множеством, которое зависит от уровня значимости. Если полученные данные не противоречат нулевой гипотезе, это ещё не значит, что гипотеза верна.

По мере увеличения длины выборки нулевая гипотеза может сначала приниматься, но потом выявятся более тонкие несоответствия данных гипотезе, и она будет отвергнута. То есть многое зависит от объёма данных; если данных не хватает, можно принять даже самую неправдоподобную гипотезу.

Альтернативная методика на основе достигаемого уровня значимости Широкое распространение методики фиксированного уровня значимости было вызвано сложностью вычисления многих статистики критерия. Чаще всего использовались таблицы, в которых для некоторых априорных уровней значимости были выписаны значения статистики критерия.

Более современный способ представления результатов проверки гипотез - использование так называемого достигаемого уровня значимости (p-value). Достигаемый уровень значимости (p-value) — это наименьшая величина уровня значимости, при которой нулевая гипотеза отвергается для данного значения статистики критерия.

Другая интерпретация: достигаемый уровень значимости — это вероятность, с которой (при условии истинности нулевой гипотезы) могла бы реализоваться наблюдаемая выборка, или любая другая выборка с ещё менее вероятным значением статистики. Если достигаемый уровень значимости достаточно мал (близок к нулю), нулевая гипотеза отвергается. В частности, его можно сравнивать с фиксированным уровнем значимости; тогда данная методика эквивалентна использованию априорного уровня значимости о форме корреляционной связи.

Дата добавления: 2014-12-29