Потери напора

Для применения уравнения Бернулли необходимо численно знать потери напора h _тр, затрачиваемые на преодоление сопротивлений движению вязкой жидкости (гидравлических сопротивлений). Общие потери напора условно считают равными сумме потерь напора, вызываемых каждым сопротивлением:

, (7.1)

где S h _дл - сумма потерь напора по длине отдельных участков трубопроводов или русла потока; S h _м - сумма всех местных сопротивлений на преодоление гидравлических сопротивлений в пределах коротких участков в непосредственной близости к тем или иным местным конструктивным устройствам труб, каналов (расширение, сужение, поворот, арматура и т.п.).

Обычно потери напора выражают через скоростной напор формулой Вейсбаха

, (7.2)

где z - коэффициент сопротивления, показывающий, какому количеству долей скоростного напора соответствует потеря напора, затрачиваемого на преодоление данного гидравлического сопротивления.

Большинство коэффициентов сопротивления, приводимых в справочниках, найдены экспериментальным путем. Экспериментально было установлено, что общая формула для потери напора по длине имеет вид (формула Дарси-Вейсбаха)

, (7.2)

где l - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), R - гидравлический радиус, l - длина участка.

Экспериментальные исследования Никурадзе, посвященные коэффи-циенту Дарси l при напорном движении в трубах, свидетельствуют о наличии различных областей сопротивления, зависящих в общем случае от числа Рейнольдса и относительной шероховатости.

1-я область сопротивления - область ламинарного режима движения. Коэффициент l является функцией числа Рейнольдса и определяется по формуле

, (7.3)

при этом потери напора пропорциональны скорости в первой степени.

Эпюра распределения скоростей в трубах представляет собой параболу, выраженную уравнением

, (7.4)

где u - местная скорость в точке, расположенной на произвольном расстоянии r от оси трубы; r ₀ - радиус трубы; u _макс - максимальная скорость на оси трубы при r =0.

Максимальная скорость на оси трубы определяется по формуле

, (7.5)

где I - гидравлический уклон, n и m - соответственно кинематическая и динамическая вязкости.

Средняя скорость при ламинарном движении в круглой трубе равна половине максимальной скорости

. (7.6)

2-я область сопротивления - область перехода от ламинарного к турбулентному режиму, соответствующая небольшому диапазону чисел Рейнольдса, примерно от 3360 до 3600.

3-я область сопротивления - область гидравлически гладких стенок (рис.7.1, а), характеризуемая условием:

, (7.7)

где d_л - толщина ламинарного слоя (в ее пределах жидкость движется в ламинарном режиме), расположенного в непосредственной близости от стенок трубы; D - средняя высота выступов шероховатости, зависящая от материала стенки и характера его обработки. Для круглых напорных труб толщина ламинарного слоя определяется по формуле

. (7.8)

Если режим турбулентный, а число Рейнольдса удовлетворяет условию

, (7.9)

то имеет место область гидравлически гладких труб.

Для гидравлически гладких труб коэффициент Дарси l не зависит от шероховатости стенок и его можно вычислить по формуле Келлебрука

(7.10)

или по формуле Блазиуса

l=0,3164/Re^0,25. (7.11)

4-я область сопротивления - переходная область сопротивления, характеризуемая тем, что высота выступов шероховатости D имеет тот же порядок, что и толщина ламинарного слоя d_л. То есть область перехода от гидравлически гладких к гидравлически шероховатым. В этой области l зависит и от числа Re, и от шероховатости.

В данном случае число Re находится в интервале

. (7.12)

В переходной зоне сопротивления рекомендуется формула Френкеля

. (7.13)

5-я область сопротивления - квадратичная область сопротивления.

Это область гидравлически шероховатых стенок (рис.7.1, б), т.е. характеризуется условием

. (7.14)

Число Рейнольдса для квадратичной области сопротивления должно удовлетворять условию

(7.15)

или

. (7.16)

В уравнениях (7.14) и (7.15) Re_кв - число Рейнольдса, соответствующее началу квадратичной области сопротивления, С - коэффициент Шези:

, м ^0,5/ с. (7.17)

В квадратичной области сопротивления коэффициент Дарси l зависит от относительной гладкости R /D:

, (7.18)

где R - гидравлический радиус, A - по опытам Никурадзе для равнозернистой шероховатости равна 7,4.

Часто ввиду отсутствия данных по шероховатости l определяется через коэффициент Шези С:

. (7.19)

Для приближенных расчетов чугунных водопроводных труб с диаметром d<500 мм можно воспользоваться формулой Дарси:

, (7.20)

где d - диаметр, м.

В качестве расчетных формул для коэффициента Шези используются следующие эмпирические формулы:

а) Павловского

, (7.21)

где n - коэффициент шероховатости (табл.);

R - гидравлический радиус, м (0,1 м < R <3 м);

y - показатель степени, приближенно вычисляемый по формуле

(при R< 1 м) и (при R>1 м).

б) Агроскина

, (7.22)

где k - параметр гладкости (табл.); R - гидравлический радиус, м.

С некоторой погрешностью при назначении k формулу Агроскина можно переписать в виде:

. (7.23)

в) Маннинга (используется при расчетах напорных труб)

. (7.24)

г) Форгеймера (для открытых земляных русел)

. (7.25)

В целях упрощения расчета и избежания вычисления коэффициента l формулу (7.2) в квадратичной области сопротивления удобно представить в виде

. (7.26)

Как видно из последней формулы, потери напора прямо пропорциональны скорости во второй степени, поэтому эта область и носит название квадратичной области сопротивления.

Местные потери напора h _м возникают на коротких участках при прохождении жидкости через конструктивные элементы. При этом происходит отрыв потока от стенок, образуются циркуляционные или водоворотные зоны, усиливаются пульсации скоростей. Местные потери напора вычисляются по формуле, которая в общем виде записывается как

, (7.27)

где z_м - безразмерный коэффициент местного сопротивления. Таким образом, вычисление h _м в основном сводится к нахождению z_м, определяемых на основании экспериментальных данных.

Рассмотрим некоторые типичные случаи местных гидравлических сопротивлений при турбулентном напорном движении, которые обусловлены изменением поперечного сечения потока или изменением направления потока.

Внезапное расширение трубы (рис.7.2). Напорное движение жидкости происходит в трубе, сечение которой внезапно расширяется от площади w₁ до площади w₂.

При достаточно высокой скорости в узкой трубе поток в месте расширения отрывается от ограничивающих твердых стенок, образуя транзитную струю, которая постепенно расширяется и заполнит на некотором расстоянии от места расширения сечение w₂. Между стенкой и поверхностью транзитной струи жидкость медленно вращается, образуя водоворотную область. Граница между транзитной струей и водоворотной областью является поверхностью раздела, на которой происходит интенсивное вихреобразование, она не устойчива и ее положение постоянно меняется.

Местные потери напора при внезапном расширении трубы находят по формуле Борда

(7.28)

или по формуле

. (7.29)

Так как по уравнению неразрывности , то (7.28) можно переписать в следующем виде

. (7.30)

Выход из трубы в резервуар больших размеров (бак, бассейн, водохранилище и т.д.) является частным случаем внезапного расширения при w₂>>w₁. В этом случае можно воспользоваться выражением для коэффициента сопротивления из формулы (7.29)

, (7.31)

так как w₂в этом случае много больше, чем w₁, то принимаем

. (7.32)

Конический диффузор (рис.7.3) представляет собой постепенно расширяющийся конусный участок. Местные сопротивления считаются по формуле (7.26). При этом

, (7.33)

где k _д - безразмерный коэффициент, выражающий долю потерь в диффузоре от потерь при внезапном расширении и зависящий от угла q (табл.7.1).

Таблица 7.1

q°	7,5
k д	0,14	0,16	0,27	0,43	0,81

Внезапное сужение. При числах Re>10⁴ коэффициент z_вс зависит только от отношения w₂/ w₁ (табл.7.2). Потери напора вычисляются по формуле (7.26), при этом значение скорости берется в сечении трубы за внезапным сужением.

Таблица 7.2

w2/ w1	0,01	0,10	0,20	0,40	0,60	0,80
zвс	0,50	0,45	0,40	0,30	0,20	0,10

Конический конфузор (рис.7.4). Коэффициент z_кон, отнесенный к , зависит от соотношения d ₁/ d ₂ и угла q (табл.7.3). Опыты показывают, что при одном и том же угле конусности q потери напора на участках расширения больше, чем на участках сужения.

Таблица 7.3

d 1/ d 2	Угол
q°
При d 1/ d 2=1,2	zкон	0,04	0,05	0,07	0,08
При d 1/ d 2=2	zкон	0,07	0,09	0,12	0,14
При d 1/ d 2=3	zкон	0,08	0,10	0,14	0,17

Вход в трубу является частным случаем внезапного сужения. Если труба подсоединена перепендикулярно стенке бассейна и кромка входного отверстия острая, то z_вх=0,50; при закругленных кромках и плавном входе z_вх=0,20, а при весьма плавном входе z_вх=0,05.

Поворот трубы (колено) без закругления (рис.7.5). Значения z_кол зависят от угла a. В таблице 7.4 приведены данные, полученные на основании опытов с трубами d <50 мм.

Таблица 7.4

a°
zкол	0,20	0,30	0,40	0,55	0,70	0,90	1,10

Поворот трубы (колено) с закруглением (рис.7.6). Значения z_зак для a=90° представлены в таблице 7.5.

Таблица 7.5

r/R	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
zзак	0,131	0,138	0,158	0,206	0,294
r/R	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
zзак	0,440	0,661	0,977	1,408	1,978

При углах a¹90° значение z_зак нужно умножить на отношение a/90.

Задвижка (рис.7.7). Коэффициент потерь z_зад зависит от степени перекрытия сечения трубы, которая характеризуется отношением a/d (табл.7.6).

Таблица 7.6

a/d	Откр.	1/4	3/8	4/8	5/8	6/8	7/8
zзад	0,12	0,26	0,81	2,06	5,25	17,0	97,8

Кран (рис.7.8). Для крана коэффициент z_кр зависит от степени закрытия крана или угла a (табл.7.7).

Таблица 7.7

a°
zкр	0,05	0,29	1,56	5,47	17,3	52,6

Для упрощения расчета трубопровода часто используют понятие эквивалентной длины местного сопротивления, т.е. об участке данного трубопровода такой длины, на котором потери напора по длине равны местной потере напора.

Пример 7. 1.

Условие задачи дано в примере 5.1. Необходимо найти разность давлений между сечениями с учетом потерь.

Решение.

1. В этом случае уравнение Бернулли примет вид

;

2. Определим потери напора, в нашем случае это потери напора на внезапное расширение.

= z_вр = 0,1 м

3. Таким образом,

; м или p ₂ - p ₁ = 5886Н/м².

Пример 7. 2. Определить расход воды, вытекающий из трубы. Уровень в резервуаре постоянный, глубина h = 10 м. Длина верхней трубы диаметром d ₁ = 200 мм равна l ₁ = 20 м. Длина нижней трубы диаметром d ₂=150 мм равна 4 м (рис.7.9). При расчете скоростным напором в резервуаре пренебречь. Коэффициент Кориолиса α₁ = α₂ = 1.

Решение. Составим уравнение Бернулли двух сечений 1 - 1 и 2 - 2 относительно плоскости сравнении 0 - 0.

l ₂ + l ₁ + h+ = + +

или

34= +

Определим потери напора

= z_вх +λ₁ + z_вс +λ₂

Выразим все потери через скорость , для чего найдем скорость из уравнения неразрывности. Имеем:

и

Подставим найденные значения в уравнение, принимая коэффициенты потерь: z_вх = 0,5; z_вс = 0,28. Коэффициенты Дарси λ вычисляем по приближенной формуле:

Таким образом, имеем:

= (0,5∙0,316+0,0225∙100∙0,316+0,28+0,0233∙26,7) =1,771

Подставим найденное значение в уравнение Бернулли

34= (1+1,771)=2,771 .

Скорость при выходе

Расход

= 0,0176625∙15,5=0,274 м³/с

где

=0,785∙0,15²=0,0176625 м²

Проверка:

; = 0,785 ∙ 0,2² = 0,0314 м²;

Q = 0, 0314∙8,72=0,274 м³/с.

Пример 7. 3. Каковы будут потери напора при напорном движении воды в трубе с площадью живого сечения w=2,83×10^-4 м² = 2,83 см², если расход воды равен 30×10^-6 м³/с=30 см³/с, температура воды t =10 °C. Длина трубы 10 м, поперечное сечение трубы - круглое.

Решение.

В начале определяем, каким будет режим движения. Для этого найдем значение числа Рейнольдса, предварительно вычислив

и

м/с = 10,6 см/с

Тогда при n=0,0131 см²/с имеем

.

Следовательно, режим движения в трубе - ламинарный.

Определим значение коэффициента Дарси по формуле l=64/Re=0,0416. Тогда

Пример 7. 4.

Определить толщину вязкого подслоя при напорном движении в трубе диаметром 0,1 м, если число Re=10⁵, а коэффициент Дарси l=0,02.

Решение.

Пример 7. 5.

Определить потери напора при равномерном напорном движении воды в трубе диаметром d =0,2 м; средняя скорость потока равна 0,15 м/с, температура воды t =12 °С. Внутренняя поверхность трубы характеризуется равнозернистой шероховатостью с высотой выступа D=0,0005 м=0,5 мм. Длина трубы l =900 м.

Решение.

Приняв по таблице n=0,0124 см²/с, найдем

соответственно режим движения - турбулентный.

Выясним, в какой области сопротивления происходит движение в рассматриваемом случае. Найдем значение числа Рейнольдса, соответствующее концу области гидравлически гладких труб: Re_гл=27(d/D)^8/7 =27(200/0,5)^8/7 = 25440. Так как найденное для условий задачи Re=24193<Re_гл=25440, то рассматриваемый случай относится к турбулентному движению в области гидравлически гладких труб.

Тогда имеем по формуле Блазиуса

l=0,3164/Re^0,25=0,3164/24193^0,25=0,0254,

а по формуле Келлебрука

.

Определяя потери напора с использованием l, полученных по указанным формулам, получим:

Определим какова область сопротивления, сопоставляя толщину вязкого подслоя d_в и высоту выступа шероховатости D.

Находим значения d_в с использованием значений l, полученных по формулам Блазиуса и Келлебрука. При этом полагаем, что в связи со сравнительно небольшим значением Re=24193 трубы могут работать как гидравлически гладкие. Тогда

Так как толщина вязкого подслоя d_в>D=0,5 мм, то справедливо рассматривать область сопротивления в данных условиях как область гидравлически гладких труб и потери напора считать равными 0,13 м.

Пример 7. 6.

Определить потери напора по длине при равномерном напорном движении воды с расходом Q =2 м³/с в трубопроводе длиной 1000 м, диаметром d =1 м; температура воды t =10 °С, трубы стальные, после многих лет эксплуатации - с заметными отложениями на стенках, высота выступов шероховатости или эквивалентная шероховатость D=0,002 м.

Решение.

Найдем значение числа Рейнольдса, определив в начале среднюю скорость = Q /w =2/0,785×1=255 см/с и кинематическую вязкость n=0,0131 см²/с. Тогда Re = d /n=255×100/0,0131=1,946×10⁶.

Очевидно, что режим движения - турбулентный. Полагая, что движение при таком довольно высоком значении числа Рейнольдса может происходить в квадратичной области сопротивления (в области гидравлически шероховатых труб), найдем число Рейнольдса, соответствующее началу квадратичной области (7.16).

Определим его значение по формуле Маннинга (7.24), приняв по таблице коэффициент шероховатости n=0,014 (для загрязненных водопроводных труб), имеем

Тогда Re_кв=21.6× Сd /D=21,6×56,6×1/0,002=6.11×10⁵. Так как Re = 1,946×10⁶ > Re_кв= 6,11×10⁵, то подтверждается допущение о том, что область сопротивления - квадратичная и, следовательно, правомочно применение формулы Маннинга для коэффициента Шези, справедливой в квадратичной области сопротивления. Найдем значение коэффициента Дарси l = 8 g / C ²=0,0245. Теперь определим потери напора:

или

Пример 7. 7.

Определить потери напора при безнапорном равномерном движении воды (t =20 °С) в бетонированном канале прямоугольного поперечного сечения. Ширина канала по дну b =7 м, глубина воды h =2 м. Качество бетонной поверхности - среднее, расход воды Q = 30 м³/с. Длина участка канала, на которой определяются потери напора, равна l = 2000 м.

Решение.

Потери напора по длине при равномерном движении воды (здесь местные потери напора отсутствуют) определяются или по или по формуле

Определим гидравлический радиус и среднюю скорость потока:

.

Тогда при n=0,0101 см²/с имеем

При таком высоком значении Re предполагаем, что область сопротивления- квадратичная и можно использовать формулы для коэффициента Шези.

Для определения коэффициента Шези воспользуемся формулами Павловского, Агроскина, приняв для среднего качества бетонировки n =0,014.

Тогда соответственно

,

где принято

.

Различие между значениями С по этим формулам коэффициента Шези не превышает 1,1%.

При С =73,85 м ^0,5/с, получим

.

Контрольные вопросы.

1. Согласно какой математической зависимости описывается распределение местной скорости по сечению цилиндрической трубы при равномерном ламинарном движении?

2. Как соотносятся максимальная и средняя скорости при равномерном ламинарном движении в цилиндрической трубе?

3. Как распределяются касательные напряжения по сечению трубы при ламинарном равномерном движении?

4. От каких величин зависит коэффициент Дарси при равномерном ламинарном движении? Если влияет, то как изменение коэффициента Дарси связано с формой сечения трубы?

5. Какой зависимостью описывается эпюра распределения осредненных местных скоростей при равномерном турбулентном движении?

6. Есть ли различия между отношениями средней скорости к максимальной скорости в живом сечении при равномерном ламинарном и турбулентном движении? Если есть, то какие именно?

7. Поясните понятия «гидравлически гладкое» и «гидравлически шероховатое» русло (труба).

8. Как рассчитывается толщина вязкого подслоя? В зависимости от каких других величин может изменяться толщина вязкого подслоя?

9. Какие зоны сопротивления при равномерном турбулентном движении в трубах можно указать? В чем различия вида кривых зависимости коэффициента Дарси от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости в трубах с равнозернистой шероховатостью и в трубах промышленного изготовления с естественной шероховатостью?

10. Какие формулы для определения коэффициента Шези используются в расчетах?

11. Что такое эквивалентная шероховатость, в каких расчетах она используется?

12. Какой вид имеют формулы Вейсбаха и Дарси-Вейсбаха?

13. Какие параметры жидкости, русла (или трубопровода) потока влияют на потери напора?

14. Запишите формулы Шези для средней скорости и расхода при равномерном движении.

15. Какова размерность коэффициентов Дарси и Шези?

16. Запишите зависимость, связывающую среднюю и динамическую скорость.

17. Как распределяются касательные напряжения по сечению цилиндрической трубы при равномерном движении?

18. Какие формулы для определения коэффициента Шези используются в расчетах?

19. От каких факторов в общем случае зависят значения коэффициентов местных сопротивлений?

20. Каковы особенности движения жидкости на начальных участках?

21. Запишите формулу для коэффициента сопротивления при внезапном расширении.

22. Можно ли выражать потерю напора при движении через местное сопротивление по скоростному напору?

23. В каком случае потери напора будут больше – при внезапном расширении или при внезапном сужении труб (соотношение диаметров в обоих случаях одно и то же, другие параметры потока одинаковы)?

Дата добавления: 2014-12-29