Уравнение Бернулли

Рассмотрим движение идеальной жидкости - жидкости, лишенной вязкости. Умножим каждую строку (4.5) соответственно на dx, dy, dz.

(5.1)

После сложения всех членов уравнения (5.1) следует

(5.2)

Так как , то

(5.3)

или

. (5.4)

После интегрирования выражения (5.4) получим

. (5.5)

Это уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения энергии.

Напишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости в двух различных сечениях вдоль линии тока

. (5.6)

Поскольку все члены уравнения имеют линейную размерность, их можно интерпретировать, как высоты (рис.5.1): z - геометрическая высота, или высота положения; p /r g - высота, соответствующая давлению; u ²/2 g - скоростная высота. Отложив все эти высоты от плоскости сравнения 0 - 0, получим напорную линию. Линия, соответствующая сумме высот z + p /r g, называется пьезометрической. Падение пьезометрической линии на единицу длины называется пьезометрическим уклоном I _п.

Каждый член уравнения Бернулли интерпретируется с энергетической точки зрения. Примем плоскость сравнения за плоскость нулевой потенциальной энергии, тогда масса жидкости m на высоте z будет иметь потенциальную энергию mgz. Следовательно, z = mgz / mg выражает потенциальную энергию, отнесенную к единице веса, называемую удельной потенциальной энергией положения.

Величине p /r g также придается энергетический смысл. Рассмотрим элементарную струйку с площадью живого сечения d w, на это сечение действует сила давления pd w и жидкость имеет скорость u. Жидкие частицы, расположенные в данном сечении, за время dt переместятся на расстояние udt и сила давления произведет работу на этом пути, которая равна pd w udt. Тогда , т.е. второй член уравнения Бернулли представляет собой работу силы давления, отнесенной к единице веса жидкости.

Масса жидкости m при движении со скоростью u имеет кинетическую энергию E _к= mu ²/2. Удельная кинетическая энергия (т.е. отнесенная к единице веса - E _к / mg) будет u ²/ 2g.

Сумма всех членов уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию жидкости в сечении потока, для которой в гидравлике используется термин " напор ", обозначаемый буквой Н (рис.5.1).

В случае вязкой жидкости часть энергии уйдет на преодоление сил вязкости и превращается из механической в тепловую, таким образом происходит диссипация энергии. Уравнение (5.6) перепишется в виде

. (5.7)

Таким образом, на участке между сечениями 1 - 1 и 2 - 2 происходит потеря напора (потеря удельной энергии) h _тр.

Последнее уравнение является основой, от которой переходят к уравнению Бернулли для потока. Для этого целесообразно перейти от местных скоростей к средней скорости потока в живом сечении (2.10), потому что вычисление удельной кинетической энергии потока Е _{к u} по местным скоростям u весьма затруднительно

(5.8)

Однако, , где безразмерная величина a называется коэффициент кинетической энергии или коэффициент Кориолиса. Она показывает разницу между величинами удельных кинетических энергий, вычисленных по u и .

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что потери энергии при движении жидкости существенно зависят от характера движущейся жидкости. Выделяют два режима движения:

- ламинарный (ламина - слой, лат.), при котором линии тока прямолинейны и устойчивы;

- турбулентный (турбулентус - беспорядочный, лат.), при котором происходят пульсационные изменения местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости.

Режим движения зависит от скорости. Скорость потока, при которой происходит смена режима движения, называется критической скоростью.

Из опытов О.Рейнольдса (1883 г.) было показано, что для трубы критическая скорость пропорциональна кинематической вязкости и обратно пропорциональна диаметру трубы

. (5.9)

Коэффициент пропорциональности k оказался равен 2320 для различных n и d. Его назвали критическим числом Рейнольдса и обозначают Re_кр. Для любого потока можно вычислить число Re и сравнить с Re_кр. Если Re < Re_кр, то режим ламинарный; если Re < Re_кр, то режим турбулентный.

Поскольку характерный размер живого сечения выбирается произвольно, то часто к числу Рейнольдса приписывают нижний индекс, указывающий характерную линейную величину (это обычно диаметр трубы d, гидравлический радиус R, глубина жидкости в открытом русле h)

(5.10)

Коэффициент Кориолиса a при прямолинейном турбулентном движении в трубах принимает значения от 1,05 до 1,10; при таком же движении в земляных каналах a»1,1¸1,25; при прямолинейном ламинарном движении в трубах a=2.

В любой точке живого сечения плавно изменяющегося потока, ограниченного неподвижными границами (канал, трубопровод) значение будет одинаковым. Следовательно, уравнение Бернулли для потока между двумя сечениями (установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости) имеет вид

. (5.9)

Отметим, что движение должно быть плавно изменяющимся только в сечениях, к которым применяется уравнение Бернулли. На участках между сечениями движение может быть и не плавно изменяющимся.

Падение линии удельной энергии называется гидравлическим уклоном

. (5.9)

При равномерном движении средняя скорость вдоль потока остается постоянной, а гидравлический уклон равен пьезометрическому: I = I _п.

Уравнение Бернулли при решении гидравлических задач удобнее применять по следующей схеме:

1) устанавливаются сечения, которые будут объединены уравнением Бернулли. В качестве этих сечений выбираются те, для которых известно как можно большее число гидродинамических характеристик. Если требуется найти тот или иной гидродинамический элемент для какого-либо живого сечения, то это живое сечение должно быть включено в число сечений, соединенных уравнением Бернулли;

2) намечается горизонтальная плоскость сравнения, причем ее строят так, чтобы z ₁ или z ₂, входящие в уравнение Бернулли, обратились в нуль;

3) пишется уравнение Бернулли в полном виде;

4) устанавливаются значения отдельных слагаемых, входящих в это уравнение;

5) подставляются найденные выражения для отдельных слагаемых в уравнение Бернулли с соответствующими преобразованиями.

Пример 5. 1.

Трубопровод диаметром 250 мм внезапно расширяется до диаметра 400 м (рис.5.2). Центр тяжести сечения 1 - 1 расположен на 0,5 м выше центра сечения 2 - 2. Расход воды, пропускаемый по трубопроводу, равен 106 дм³/с. Коэффициент Кориолиса α₁= α₂ =1. Определить разность давлений между сечениями, пренебрегая потерями напора.

Решение.

1. Составим уравнение Бернулли двух сечений 1 - 1 и 2 - 2 относитель-но плоскости сравнении 0 - 0, проходящей через центр сечения 2 - 2

; ;

2. Вычислим скорости из формулы для расхода .

= 2,16 м/с; =0,24 м.

=0, 84 м/с. =0,04 м.

3. Таким образом, имеем

; м или p ₂- p ₁ = 6867Н/м².

Пример 5. 2. Определить расход воды Q с помощью водомера Вентури, если известны: разность показаний пьезометров h =0,25 м, диаметр трубопровода d ₁=0,2 м, диаметр горловины d ₂=0,1 м (рис.5.3). При решении задачи пренебречь потерями напора и сжатием струи в горловине.

Решение.

Составляем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно произвольной горизонтальной плоскости сравнения 0 – 0:

В соответствии с условием задачи h _тр=0. Допустим, что a₁=a₂=1. Тогда

Имеем (см. рис.). При этом

В данном уравнении два неизвестных: . Для исключения одного из них применяем уравнение неразрывности, из которого следует и

Тогда

Преобразуя это уравнение, определим среднюю скорость в сечении 2-2:

Из уравнения неразрывности получим

,

где А постоянная водомера

.

Далее вычисляем:

л/с

Фактически расход будет меньше вычисленного, так как при расчете не учтены потери напора. При выполнении практических расчетов и измерении расхода с помощью водомера Вентури принимается

,

где m - коэффициент расхода водомера, определяемый экспериментально, обычно считают, что 0,9<m<1.

Если m = 0,95, то получим

л/с.

Контрольные вопросы.

1. Запишите уравнение Бернулли для невязкой несжимаемой жидкости.

2. Как записывается уравнение Бернулли, если из массовых сил действует только сила тяжести?

3. Что такое удельная энергия?

4. Какой физический закон выражает уравнение Бернулли?

5. Что такое пьезометрический, скоростной и гидродинамический напор? Как они изменяются по длине (вдоль направления движения)?

6. Что такое пьезометрическая линия и напорная линия или линия удельной энергии?

7. Дайте определение пьезометрического уклона.

8. Запишите уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости при установившемся движении.

9. Запишите уравнение Бернулли для потока при установившемся плавно изменяющемся движении вязкой жидкости.

10. Может ли коэффициент Кориолиса (коэффициент кинетической энергии) быть меньше единицы, больше единицы; равен единице?

11. Какова размерность членов уравнения Бернулли? Как интерпретируются члены уравнения Бернулли с геометрической и энергетической точки зрения?

12. Что такое гидравлический уклон для потока? Запишите выражения для гидравлического уклона.

13. Каковы основные особенности ламинарного и турбулентного режима движения жидкости?

14. Какова структура числа Рейнольдса?

15. Какой смысл имеют критические скорости?

Дата добавления: 2014-12-29