Уравнение неразрывности

Способ Лагранжа. В этом способе предлагается рассматривать движение каждой жидкой частицы, для них необходимо указать координаты x, y, z как функции начального положения x0, y0, z0 и времени t, называемых переменными Лагранжа

Способы описания движения жидкости

Кинематика жидкости - раздел гидромеханики, в котором изучаются виды и кинематические характеристики движений жидкости, но не рассматриваются силы, под действием которых происходит движение.

Динамика жидкости - раздел гидромеханики, который изучает законы движения жидкостей в зависимости от приложенных к ним сил.

Существует два способа описания движения жидкости: Лагранжа и Эйлера.

. (2.1)

Проекции скоростей на оси координат запишутся через формулы

, (2.2)

а ускорений

. (2.3)

В способе Эйлера движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторой неподвижной области, выбранной в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами , будет находится жидкая частица, которая имеет скорость . Эта скорость называется мгновенной местной скоростью. Совокупность этих скоростей представляет собой векторное поле, которое называется полем скоростей. Понятно, что поле скоростей может изменятся как во времени, так и по координатам неподвижной области:

. (2.4)

Переменные x, y, z, t называют переменными Эйлера. Ускорение будет представлять собой производную от скорости по времени . Проекции ускорений жидких частиц в прямоугольной декартовой системе координат в соответствии с правилом дифференцирования сложной функции будут следующими:

. (2.5)

Так как , то

. (2.6)

Таким образом, полное ускорение жидкой частицы запишется в виде

. (2.7)

Частные производные по времени от проекций скорости представляют собой проекции локальных ускорений, которые обусловлены изменениями скоростей во времени при фиксированных координатах. Слагаемые

называются проекциями конвективного ускорения, потому что они образуются за счет изменения координат жидких частиц в поле скоростей и соответствуют их передвижению (конвекции). Конвективное ускорение возможно только при движение жидкостей и газов.

В гидравлике способ Эйлера является основным, так как при решении большинства инженерных задач необходимо знать скорости прохождения частиц жидкости через определенные сечения потоков или элементов гидротехнических конструкций. Отметим также, что этот способ значительно облегчает теоретические выкладки и экспериментальные исследования.

Поле скоростей (2.4) может быть охарактеризовано линиями тока. Линия тока - кривая, в каждой точке которой в данный момент времени вектор мгновенной местной скорости направлен по касательной. Для данного момента времени линии тока выражаются следующими дифференциальными уравнениями:

(2.8)

Здесь t рассматривается как параметр, имеющий заданное значение. Задаваясь различными значениями t можно определить линии тока для различных моментов времени.

По характеру изменения поля скоростей во времени движения жидкости могут описываться как установившееся и неустановившееся.

Неустановившееся (или нестационарное) движение - это такое, при котором в точках области движения жидкости местные скорости изменяются с течением времени (2.4). В этом случае линии тока соответствуют только мгновенному состоянию поля скоростей. При этом линии тока в общем случае изменяются и не совпадают с траекторией частиц. Однако возможен такой случай нестационарного движения, когда направления скоростей не изменяются, а изменяются только значения скоростей в точках, тогда линии тока во времени не изменяются и совпадают с траекторией частиц жидкости.

Установившееся (или стационарное) движение жидкости - это движение, при котором в каждой области движения жидкости местные скорости во времени не изменяются. При установившемся движении линии тока и траектории движения частиц совпадают.

Установившееся движение потока подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение характеризуется параллельностью и прямолинейностью линий тока. Размеры и форма живых сечений и средние скорости по длине потока не изменяются. Местные скорости в соответствующих точках всех живых сечений по длине потока также одинаковы. Ускорения равны нулю.

Неравномерное движение характеризуется тем, что линии тока не представлены параллельными прямыми. Площади живых сечений и средние скорости могут быть переменными по длине потока. Неравномерное движение может быть ускоренным или замедленным.

Неустановившееся движение подразделяют на быстроизменяющееся и медленноизменяющееся, в этом случае говорят о квазиустановившемся или квазистационарном движении (квази - якобы, почти, лат.).

Трубка тока - это поверхность, образованная линиями тока, проведенными в данный момент времени через все точки замкнутого контура, нормального к линиям тока и находящегося в области движения жидкости. Жидкость, движущаяся внутри трубки тока, образует струйку тока. Если контур трубки тока ограничивает бесконечно малую площадку, то струйка называется элементарной. Если контур ограничивает конечную площадку, то струйка называется конечной. От понятия об элементарной и конечной струйках жидкости вытекает понятие потока жидкости как совокупности струек, при этом потоки жидкости всегда ограничены направляющими твердыми поверхностями, поверхностями раздела жидкостей или свободными поверхностями. В зависимости от характера и сочетания ограничивающих поток поверхностей потоки классифицируются как безнапорные, напорные и гидравлические струи.

Безнапорные потоки ограничены частично твердой, частично свободной поверхностью. Примером таких потоков может служит поток в реке или канале, поток в трубе, сечение которой не полностью заполнено жидкостью.

Напорные потоки ограничены твердыми поверхностями, например поток в трубе, все сечение которой заполнено движущейся жидкостью и стенки трубы испытывают давление со стороны потока, отличающееся от давления окружающей среды (в этом случае говорят, что труба работает полным сечением под напором).

Гидравлические струи ограничены только жидкостью или газовой средой, например вода, вытекающая из шланга в атмосферу.

Живым сечениемструйки называется сечение, нормальное в каждой своей точке к линиям тока. Обозначим площадь живого сечения элементарной струйки через dw, а конечной струйки и потока - w.

В силу малости живого сечения элементарной струйки местные скорости жидкости в его пределах можно считать одинаковыми; для конечных струек и потоков равномерность распределения значений скоростей в пределах живого сечения в общем случае не выполняется. Скорости и площади живых сечений по длине струйки могут изменяться. Частицы жидкости не выходят из струйки и не входят в нее через боковую поверхность, так как данная поверхность образована линиями тока. При установившемся движении форма струйки остается неизменной и можно говорить, что струйка существует физически. При неустановившемся движении в связи с изменениями поля скоростей во времени струйки являются только мгновенными, так как трубки тока непрерывно изменяются.

Расходом Q струйки называется объемное количество жидкости, которое проходит через данное живое сечение в единицу времени [м³/с]. Расход элементарной струйки с равномерным распределением скоростей

. (2.9)

Для конечной струйки и потока вводится понятие средней по живому сечению скорости

. (2.10)

Следовательно, расход конечной струйки и потока будет определятся по формуле

. (2.11)

С другой стороны расход потока равен сумме расходов элементарных струек, составляющих поток:

. (2.12)

А площадь живого сечения потока равна сумме площадей d w живых сечений струек:

. (2.13)

Смоченный периметр представляет собой длину линии, по которой жидкость в живом сечении соприкасается с твердыми поверхностями, ограничивающими поток, обозначается буквой c.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к смоченному периметру в этом сечении:

. (2.14)

Пример 2. 1.

Определить гидравлический радиус трапециидального канала, если ширина канала b = 10 м, глубина воды в канале h = 3 м, коэффициент заложения откосов m = 1,5.

Решение.

Площадь живого сечения

м².

Смоченный периметр

м.

По формуле 2.14 определится гидравлический радиус R = 2,07 м.

Пример 2. 2.

Определить гидравлический радиус круглой напорной трубы диаметром 350 мм.

Решение.

Площадь живого сечения

м².

Смоченный периметр

м.

По формуле 2.14 определится гидравлический радиус R = 0,087 м.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается отличие динамики жидкости от кинематики жидкости?

2. В чем заключаются особенности способов описания жидкости по Лагранжу и по Эйлеру?

3. Какие формулы используются для описания движения жидкости в способах Лагранжа и Эйлера? Какой способ предпочтителен для гидравлики и почему?

4. Что такое линия тока, каково ее уравнение?

5. В чем различие установившегося и неустановившегося движений?

6. Могут ли совпасть линия тока и траектория движения частиц?

7. Что такое трубка тока, элементарная и конечная струйки жидкости?

8. Дайте определение живого сечения струйки, расхода жидкости и средней по живому сечению скорости.

9. Что характеризуют локальное и конвективное ускорения? Запишите соответствующие формулы.

10. Чем отличаются мгновенная местная скорость и средняя скорость?

11. Из каких составных частей состоит полное ускорение? Напишите формулы и дайте характеристику их физической сущности.

12. Напишите дифференциальное уравнение для линии тока.

13. Чем отличаются равномерное и неравномерное движение?

14. Чем отличаются стационарное и нестационарное движение жидкости?

15. Дайте определение потока жидкости.

16. В чем разница напорного потока от безнапорного потока?

17. Дайте определение средней скорости потока, расхода потока.

18. Что такое смоченный периметр, живое сечение и гидравлический радиус?

19. Каковы особенности безнапорных потоков, напорных потоков и гидравлических струй?

Одним из основных уравнений гидродинамики является уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения вещества. Рассмотрим некоторый конечный объем V, выделенный в пространстве, где течет жидкость. Масса жидкости в этом объеме в данный момент времени

. (3.1)

Интегрирование производится по объему V. За единицу времени масса жидкости в объеме изменится на величину

. (3.2)

Эта величина будет отрицательной, если в объеме количество жидкости уменьшится и положительной, если увеличится.

Выделим на поверхности, ограничивающей объем V, некоторую единичную площадку, через которую проходит нормаль n, направленная во внешнюю сторону (рис.3.1). Тогда в единицу времени через эту площадку будет протекать количество жидкости . Эта величина будет положительной, если жидкость вытекает из объема, и отрицательной, если жидкость втекает в него. Интегрируя по всей замкнутой поверхности s, охватывающей объем V, получим изменение количества жидкости за единицу времени

. (3.3)

Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему по выражению Остроградского-Гаусса:

. (3.4)

Приравнивая оба выражения, получим:

, (3.5)

где , читается дивергенция r u.

Таким образом,

. (3.6)

Так как это выражение должно быть верным для любого объема V, то примем подынтегральное выражение равным нулю:

. (3.7)

Это уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения вещества.

В случае, если жидкость несжимаемая (r=const), то уравнение неразрывности перепишется в виде

. (3.8)

Для потока несжимаемой (капельной) жидкости в данный момент времени расход по длине потока не изменяется и уравнение неразрывности имеет вид

(3.9)

При установившемся движении расход жидкости не изменяется как во времени, так и по длине, т.е. Q = const.

Пример 3. 1.

В трубе диаметром d ₁ = 250 мм поток имеет среднюю скорость = 0,6 м/с. Затем труба плавно сужается до диаметра d ₂ = 125 мм. Определить расход и среднюю скорость в трубе меньшего диаметра.

Решение.

Решение основывается на уравнении неразрывности 3.9. Поскольку

,

находим:

м/с.

Расход Q = 0,6×(3,14×0,25²/4) = 0,029 м³/с.

Контрольные вопросы

1. Какое количество жидкости будет протекать через единичную площадку?

2. В каких условиях не стоит пренебрегать сжимаемостью жидкости в гидравлике?

3. Что означает слово дивергенция?

4. Для чего используется уравнение Остроградского- Гаусса?

5. Какой из фундаментальных законов природы отражает уравнение неразрывности?

6. Напишите уравнение неразрывности для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

Дата добавления: 2014-12-29