Законы пересечения и объединения множеств

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называют также объединением.

Ø Нахождение объединения в конкретных случаях:

· Если все элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти AÈB, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А или В, т.е. хотя одному из множеств.

Пример

Так, если А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}, то А È В = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

· Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А È В составляется из характеристических свойств множеств А и В с помощью союза «или».

Пример

Найти объединение множества А четных чисел и множества В двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А – «быть четным числом», а свойство элементов В – «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых - «быть четным или двузначным числом».

Например, в А È В есть числа: 8, поскольку оно четное; 17, поскольку оно двузначное; 36, поскольку оно четное и двузначное.

Пример

Найти объединение множеств А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4.

Ранее было установлено, что В Ì А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А È B, будут элементы множества А.

Следовательно, в данном случае AÈB = А.

1. Переместительный (коммутативный) закон пересечения и объединения множеств.

Из определений пересечения и объединения множеств вытекает:

Определение. Для любых множеств А и В справедливо равенство: А Ç B = B Ç A и A È B = B È A.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств.

Определение. Для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(А Ç B) Ç С = A Ç (ВÇ С), (A È B) È С = A È (B È С).

Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3)

3. Закон пересечения множеств: (А Ç B) Ç С = A Ç (ВÇ С)

В выражении (А Ç B) Ç С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество (А Ç B) Ç С.

Представим теперь наглядно множество A Ç (В Ç С).(См. рис.4) В соответствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересечение множеств В и С – на рисунке оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество A Ç (ВÇ С). Видим, что области, представляющие на рисунке множества (А Ç B) Ç СиA Ç (В Ç С), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств. Рис. 4.

Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.

Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем:

Дата добавления: 2014-12-29