Простые числа

Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа.

Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства.

Теорема. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Например, запись 110 = 2×5×11 есть представление числа 110 в виде произведения простых множителей или разложение его на простые множители.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковыми, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2×5×11 или произведения 5×2×11 есть, по существу, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из способов записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит, 2 есть один из про­стых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.

90 =2×3×3×5

При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей представляют в виде степени: 90=2×3²×5; 60=2²× 3× 5; 72=2³×3². Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.

Греческий математик - Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Действительно, предположим, что множество простых чисел конечное и исчерпывается числами 2, 3, 5, 7,...,р, где p - самое большое простое число. Перемножим все простые числа и их произведение обозначим через а. Прибавим к этому числу 1. Каким будет полученное число а + 1 - простым или составным?

Простым число а+1 быть не может, потому что оно больше само­го большого простого числа, а по предположению таких простых чисел не существует. Но составным оно тоже быть не может: если а+1 составное, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель q. Так как число а = 2×3×5 ×...×р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) - а, т.е. число 1, делится на q, что невозможно.

Итак, число а не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, наше предположение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество простых чисел бесконечное.

Дата добавления: 2014-12-29