Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:А = В Û т(А) = т(В); А < В Û т(А) < т(В); А > В Û т(А) > т(В).

Например, если массы двух тел таковы, что А = 5 кг, В = 3 кг, то можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А + В достаточно сложить численные значения величин А и В: А + В = С Þ т(А+В)=т(А)+т(В).

Например, если А = 5 кг, В = 3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.

3. Если величины А и В таковы, что В = х ´ А, где х - положительное действительное число, и величина измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение величины В при единицы Е, достаточно число х умножить на число т (А): В = х × А Þ т (В) = х × т(А).

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то В = 3А =3 × (2 × кг) = (3 × 2) × кг = 6 кг.

Замечание. В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, т.е. х× А. Но разрешается писать и так: А× х. Тогда численное значение величины А умножают на х, если находят значение величины А × х.

Рассмотренные понятия - объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно опи­сать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 - численное значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека - это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существует зависимость, выражаемая формулой s = vt.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. Так, например, длина и масса - это разнородные величины.

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х₁, х₂,..., х_п, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х₁, х₂,..., х_п и пишут х = х₁ Å х₂ Å…Å х_п

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Пишут: Х = а × Е или а = т_Е (Х).

Например, отрезок х (рис. 3) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е.

Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х - буквой X, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = m_Е (Х).

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина ко­торого измеряется.При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

- При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е (рис. 1), то мера длины отрезка будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3×Е₁ или m_Е1 (Х) = 3.

- Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у - из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

- Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см² число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.

Дата добавления: 2014-12-29