Смысл суммы и разности

Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y) = а, m(Z) = b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждаяиз которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, m(Х) = а + b = m(Y)+m(Z).

Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются числа а и b.

а + b = m_Е (Y) + m_Е (Z) = m_Е (Y + Z).

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины - масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7+3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3 получим ответ на вопрос задачи.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей.

Из этой теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z Å у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b.

а - в = т_Е (Y) - т_Е (Z) = т_Е (Y - Z).

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?».

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы ка­пусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7-3. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах - массе моркови и массе карто­феля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.

Дата добавления: 2014-12-29