Коэффициент корреляции и его оценка

Статистической называют зависимость между двумя случайными величинами если изменение одной, влечёт за собой изменение закона распределения другой величины.

Корреляционной зависимостью одной случайной величины от другой СВ называется функциональная зависимость условного среднего первой СВ от наблюдаемых значений второй СВ. Под условным средним случайной величины Y, при условии, что СВ X=x, `yx понимают среднее арифметическое, наблюдаемых значений СВ Y при условии X=x.

`yx = 1/n å yi при условии Х=х.

{ 1.Ŷx = f(x). 2.Χŷ = f(y)

Корреляция бывает линейной, степенной, экспоненциальной.

Основные задачи теории корреляции:

1. Определить корреляционную зависимость между изучаемыми признаками, с целью обоснованного прогноза. Другими словами, определить (оценить) уравнения регрессии, или, как говорят, установить формы связи между случайными величинами (количественными признаками генеральной совокупности). Если количественные признаки количественные признаки Х и Y распределены по совместному нормальному закону, то корреляционная зависимость обязательно будет линейной.

2. Оценка «тесноты» корреляционной зависимости по выборочному коэффициенту корреляции. Данные наблюдений при изучении двумерного признака оформляют в виде таблицы с двумя входами, которую называют корреляционной таблицей.

Анализ статистических связей между порядковыми пере­менными сводится к статистическому анализу различных упо­рядочений (ранжировок) одного и того же конечного множест­ва объектов и осуществляется с помощью методов ранговой корреляции. В зависимости от типа изучаемой ситуации (шка­ла измерения анализируемого свойства не известна исследователю или отсутствует вовсе; существуют косвенные или ча­стные количественные показатели, в соответствии со значе­ниями которых можно определять место каждого объекта в общем ряду всех объектов, упорядоченных по анализируемому основному свойству) процесс упорядочения объектов произво­дится либо с привлечением экспертов, либо формализованно — с помощью перехода от исходного ряда наблюдений косвен­ного количественного признака к соответствующему вариационному ряду.

X Y	x1	х2	xk	ny
y1	n11	n12	n1k	ån1j
y2	…..	…..	…..
yn	nm1	nm2	nmk	ånmj
nx	åni1	åni2	ånk	n-объём выборки

Исходные статистические данные для проведения ранго­вого корреляционного анализа представлены таблицей (ма­трицей) рангов статистически обследованных объектов размеpa n X (p + 1) (число объектов на число анализируемых пе­ременных). При формировании матрицы рангов допускаются случаи неразличимости двух или нескольких объектов по изу­чаемому свойству («объединенные» ранги).

II. Регрессионный анализ. Простая и линейная регрессия

Предыдущий вопрос посвящен описанию математи­ческого аппарата, привлекаемого для реализации 3-го этапа статистического исследования зависимостей, на котором исследователь пытается проанализировать структуру связей между рассматриваемыми переменными и измерить степень их тесноты. После того как он убедится в наличии статистически значимых связей между анализируемыми переменными, он приступает к выявлению и математическому описанию конкретного вида интересующих его зависимостей: подбирает класс функций, в рамках которого будет вести свой дальнейший анализ (этап 4); производит, ес­ли это необходимо, отбор наиболее информативных предска­зывающих переменных (этап 5); вычисляет оценки для неизвест­ных значений параметров, участвующих в записи уравнения искомой зависимости (этап 6); анализирует точность получен­ного уравнения связи (этап 7). Этапы 4—7 и составляют содер­жание регрессионного анализа.

Но прежде чем переходить к изложению методов, составля­ющих аппарат регрессионного анализа, необходимо ввести и прокомментировать ряд основных понятий и определений.

Условным средним ` у_х называется среднее арифметическое на­блюдавшихся значений случайной величины Y, соответствующих X = х. Очевидно, что у_х = f(x), это уравнение называют выбо­рочным уравнением регрессии Y по х.

Условным средним ` х<sub>у</sub> называется среднее арифметическое на­блюдавшихся значений случайной величины X, соответствующих Y = у. Очевидно, что х<sub>у</sub> =j(у), это уравнение называют выбо­рочным уравнением регрессии X по у, а ее график – выборочной линией регрессии X по у. Условные средние` у_х и ` х_у, которые находят по выборке, принимают в качестве оценок условных математических ожиданий т_у(х) и т_к(у).

Если обе линии регрессии Y по х и X по у - прямые, то корреляционную зависимость называют линейной (линейная корреля­ция). Это бывает в том случае, если количественные признаки случайных величин X и Y, распределены по совместному нормальному закону.

То есть: ` у_х =кх + b

` х_у =cy + d

где: к = ryx – коэффициент регрессии Y по Х,

c = rxy – коэффициент регрессии Х по Y.

ryx = rxysy/sx; rxy = rxysx/sy; ryx·ryx = rxy².

Эмпирические уравнения регрессии имеют вид:

` у<sub>х</sub> = ` у + rxysy/sx (х – х)

` хy = ` x + rxysx/sy (y – y)

Нахождение выборочных уравнений регрессии – одна из главных задач теории корреляции (регрессивного анализа), когда двумерный признак распределён по нормальному закону.

Для нормально распределенного случайного вектора (Х,Y) теоретические уравнения регрессии линейные:

y- т_y = rxy sy/sx (х-m_х), (1)

x- т_y = rxy sx/ sy (y-m_y),(2)

где т_x = M (X); т_{y =} M (Y); sx = Ö D(X); sy = Ö D(Y)

rxy - коэффициент корреляции,

Cov (X;Y)

rxy= (3)

sx sy

где Cov (X;Y) = M (Xº Yº) = Kв; Xº= X-mx; Yº= Y-my.

III. Ранговые корреляционные статистики. Устойчивость оценки

Если г_ху > 0, то линии регрессии наклонены вправо, если г_ху < 0 - влево.

Если | r_xv | = 1, то линии регрессии сливаются в одну линию, а cлучайные величины X и Y связаны между собой линейной функ­циональней зависимостью Y = аХ + b (а и b Î r).

Если г_ху= 0, то линии регрессии проходят параллельно осям координат, в этом случае X к Y некоррелированы, в частности так будет всегда, когда X и Y - независимы; обратное заключение сделать нельзя, так как случайные величины X и Y могут быть cвязаны некоторой нелинейной функциональной зависимостью, а коэффициент корреляции г_ху = 0.

Таким образом, величина коэффициента корреляции характери­зует, насколько близка связь между случайными величинами X и Y к линейной зависимости, если г_ху < 0,4, то считают, что линей­ной корреляционной зависимости нет.

Выборочные уравнения прямых регрессий, найденные методом наименьших квадратов, имеют вид:

sв(y)

yx – `y = r<sub>в (x - `x)</sub> (4)

sв(x)

sв(x)

`xy – `x = r_{в (y - `y)} (5)

sв(y)

где `x - оценка математического ожидания случайной величины X (выборочная средняя X);

`y - оценка M(Y) (выборочная средняя Y).

sв(x) = Ö D в (x), sв(x) = Ö D в (y), где

D в (x) – выборочная дисперсия (оценка D (X)), D в (y) выборочная дисперсия (оценка D (Y)),

r_в - выборочный коэффициент корреляции (оценка коэффициента корреляции),

причем r_{в =} xy - `x `y

sв(x) sв(y)

где xy = 1/nå nij xi yj,

(ij)

п - объем выборки;

n_ij - частота наблюдавшегося значения (хi, у_j) случайного вектора (X, Y)

å nij xi yj - n `x `y

или r_{в =} (i,j) (6)

nsв(x) sв(y)

Выборочный коэффициент корреляции также служит для ха­рактеристики линейной связи между X и Y.

Пример:

Координаты (X; Y) падения ракеты есть нормальный случай­ный вектор. Результаты 100 испытаний записаны в корреляционной таблице (табл. 3.2).

Таблица 3.2.

Y X						ni
nj						N=100

Задача: 1. Рассчитать для каждого значения случайной величины X соответствующую среднюю у _х, результат записать в виде таблицы 3.3.

Таблица 3.3

X	x1	x2	• • •	xn
`yх	`yх1	`yх2	• • •	`yхn

2. Изобразить точки (x_y;у_х) = 1,n на поле корреляции (прямоуголь­ная система координат, на которой отмечены значения изучаемого случайного вектора) и соединить их отрезками прямой, получим ломаную линию, которую называют опытной линией регрессии Y по х.

Замечание. Если бы была возможность неограниченного уве­личения объема выборки, то влияние всех факторов, кроме X, на изменение Y взаимно погашалось бы, и в пределе опытная линия регрессии перешла бы в плавную линию, представляющую собой теоретическую линию регрессии. Аналогично могла бы быть по­строена опытная линия регрессии X по у.

3. Найти выборочный коэффициент корреляции, по его величи­не сделать вывод о том, можно ли опытную линию регрессии заме­нить прямой линией регрессии.

4. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У по х. преобразовать его к виду у = kx ±в, построить на поле корреля­ции.

Решение.

1. Найдем опытную линию регрессии Y no х

` y20 = 16,0

` y25 = 16-6 + 26-8 = 21,57» 21,6

` y30 = 26-10 + 36-32 + 46-4» 34,7

` y35 = 36 3 + 46 12 + 56»44,8

` y40 = 36-9+46-6 + 56-5» 44,0

Таблица 3.3а

X
` yx	16,0	21,6	34,7	44,8	44,0

Построим опытную линию регрессии на поле корреляции (рис.3.12).

Дата добавления: 2014-12-29