Определение условной вероятности

Определение вероятностей совместных событий

Пусть дано вероятностное пространство (W, œ, Р), АÎ œ ВÎ œ, А·В¹Æ.

В курсе Высшей математике доказывается теорема: Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) - Р(А·В).

Замечания: _ _

1) АUВ = А·В U А·В U А·В.

_ _

2) Р(АUВ) = 1 - Р(Ā·В). А U В =W\А ·В

_ _ _

3) Р(АUВUС) = 1- Р(АUВUС).

Пример: Для обнаружения объекта выделено два радиолокатора. Определить вероятность обнаружения объекта хотя бы одним средством..

Решение: событие А – обнаружит 1 радиолокатор.

событие В – обнаружит 2 радиолокатор.

Р(А) = 0,8. Р(В)= 0,9. Р(АВ) = 0,72.

1 способ С = АUВ, Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,8 + 0,9 – 0,72 = 0,98.

_ _

2 способ Р(С) = 1 – Р(А В) = 1 – 0,02 = 0,98.

Пусть дано вероятностное пространство (W, œ, Р). Будем предполагать, что в результате опыта событие В произошло.

Определение: Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятности произведения события А и В к вероятности события В:

Р(АВ)

Р(А/В) = Р(В) > 0

Р(В)

Проверим выполняемость аксиом:

As1 Р(А/В) ³ 0, так как Р(А В) ³ 0, Р(В) > 0.

As2 (нормировка) Р(W/В) = Р(W В) / Р(В) = Р(В)/Р(В) = 1.

As3 (аддитивности (сложения)) А1 и А2 – несовместные события.

Р((А1UА2) В) Р(А1 В) + Р(А2 В) Р(А1/В) Р(А2/В)

Р(А1UА2 /В) = = = =

Р(В) Р(В) Р(В)

= Р(А1/В) + Р(А2/В).

Итак построено условное вероятностное пространство (W/В, œ/В, Р/В). Для решения многих практических задач оно строится легче, чем безусловное.

В курсе теории вероятности доказывается теорема умножения:

Р (А В) = Р (В) Р(А/В)

Пример: В ящике 12 радиодеталей, из них 8 годных 4 негодных. Определить вероятность того, что две наудачу извлечённые детали – годные.

Решение:

Событие В – 1-я извлечённая деталь годная.

Событие А – 2 –я извлечённая деталь годная.

Р(А В) = 8/12 + 7/11 = 14/33.

Замечание: (теорема умножения для трёх событий)

Р (А В С) = Р(С) Р(В/С) Р(А/ВС).

События А и В называются независимыми (взаимонезависимыми) если выполняется условие Р (А В) = Р (А) Р(В), в противном случае они зависимы.

Признак независимости. События А и В независимы тогда и только тогда когда Р(А/В) = Р(А) или Р(В/А) = Р(В).

События А1,…Аn называются независимыми в совокупности если Р(А1 А2 … Аn) = Р(А1) Р(А2) … Р(Аn).

Из независимости в совокупности следует попарная независимость случайных событий, а из попарной независимости, вообще говоря, не следует независимость в совокупности.

Если А и В независимы, то независимы будут следующие пары событий:

_ _ _ _

А и В А и В А и В

На практике реально независимость событий не определяют, о ней судят из физических соображений, то есть из условий опыта.

Дата добавления: 2014-12-29