Для равномерного дискретного распределения ДСВ Х

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.

Дисперсия случайной величины и её свойства

Разность между случайной величиной и её математическим ожиданием называют центрированной случайной величиной:

df

Х – m _x = Хº.

M(Хº) = M(X - m _x) = M(X) – m _x = 0.

df df

Д (Х) = М(Хº)². Д(X) = М(Х – m _x)².

Дисперсия характеризует меру рассеивания значений случайной величины, около её математического ожидания. Она имеет размерность математического ожидания возведённого в квадрат.

n

∑ (хi - m _x)² pi - для ДСВ

Д(Х) = i=1 b

∫ (х - m _x)² f(х) dx -для НСВ.

a

Свойства дисперсии:

1. Д(Х) ³ 0 (неотрицательность), причём Д(Х)=0 тогда и только тогда, когда Х – константа, так как Д(С)=0.

2. Д(СХ) = С²Д(Х).

3. Д(X+Y) = Д(X) + Д(Y).

4. Д(X-Y) = Д(X) + Д(Y), так как Д(X-Y) = Д(X +(-1)Y) = Д(X) + (-1)²Д(Y) = = Д(X) + Д(Y).

5. Д(Х) = М(Х²) – m _x², так как Д(Х) = М(Х – m _x)²= М(Х² – 2Х m _x + m _x²) = = М(Х²) – 2 m _x М(Х) + m _x² = М(Х²) – 2 m _x² + m _x² = М(Х²) – m _x².

Ещё одной характеристикой случайной величины является среднее квадратическое отклонение СВ от её математического ожидания. Оно определяется как:

sх = ÖД(Х).

n+1

М(Х) = 2

n² - 1

Д(Х) = 12 s(х) =Ö Д(Х).

Равномерный дискретный закон встречается когда все значения ДСВ равновероятны. При передаче цифровых данных, обычно вероятности появлений каждой цифры одинаковы и поэтому имеют равномерное распределение.

Для биномиального распределения, когда ДСВ Х принимает

k k n-k

целые неотрицательные значения и Pk = P(X=k) = Cn · p ·q, где p – вероятность появления события А в каждом конкретном испытании. q = 1-p, существуют следующие формулы расчёта:

М(Х) = p·n. Д(Х) = n·p·q. s(х) =Ö Д(Х).

Существуют и другие виды законов распределения СВ: распределение Пуассона, Релея, показательное, нормальное (закон Гаусса) и другие.

Закону Пуассона соответствует распределение числа разговоров, регистрируемых на АТС в течение периода времени, распределение числа электронов выбывших из катода электрорадиолампы за период времени, а также распределение числа распадающихся за период времени t, атомов радиоактивного вещества.

По показательному закону определяются продолжительности телефонных разговоров в различные периоды суток, распад радиоактивных веществ, сроки безотказной работы приборов.

По закону Релея рассматривается распределение долговечности электронных ламп.

По закону Гаусса распределено самое большее количество случайных величин.

Эти законы рассматриваются в теории надёжности и теории массового обслуживания.

Примеры:

1. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,7. Найти М(Х) общего числа попаданий при 10 выстрелах.

p=0,7 n=10 в данном случае М(Х) = p · n = 0,7 ·10 = 7.

2. Вероятность того, что деталь бракованная 0,06. Определить М(Х), Д(Х) и s(х) числа бракованных деталей в выборке состоящей из 50 деталей.

Х- число бракованных деталей в выборке. n=50. q=1-p.

М(Х) = p·n = 0,06·50 = 3.

Д(Х) = n·p·q = 50·0,06·0,94 = 2,82.

s(х) = Ö 2,82 = 1,68

Таким образом, в данной выборке следует ожидать 3 ± 3 бракованных детали.

II. Табличное представление экспертных данных. Числовые

Дата добавления: 2014-12-29