Математическое ожидание и его свойства. Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины

Непрерывная случайная величина

Случайная величина Х называется СВ непрерывного типа, если:

1) Её возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток числовой оси.

2) Существует неотрицательная функция f(х), называемая плотностью распределения вероятности, такая что для всех х ("Х)

+∞

P(Х<х) = ∫ f(х)dx = F(x)

-∞

f(x) – называется дифференциальной функцией распределения СВ.

F(x) – плотностью распределения вероятности.

Пример:

b – a, хÎ[a,b]; Найдём F(x).

f(x) =

0, xÏ[a,b]. Решение: a) х £ a: F(x)=P(x<X) =0;

x a x

б) a < x £ b: F(x) = ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt + ∫ f (t)dt =

-∞ -∞ a

x-a

F(x) = 0 + 1 / b-a · (x-a)= b-a

1

b-a +∞ a b

в) x > b: F(x) = ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt +∫ f(t)dt +

x x -∞ a

+∫ f (t) dt = 0 + 1 + 0 = 1

b

0 a b x

Математическое ожидание (МО) с вероятностнойточки зрения характеризует «центр» случайной величины, то есть точку около которой группируются возможные значения случайной величины.

Если (для ДСВ), каждому возможному значению СВ приписать определённый “вес”, то математическое ожидание есть – координата центра тяжести. В этом состоит физический смысл понятия математическое ожидание.

Пример: Пусть задан закон распределения ДСВ (исходы бросания игральной кости).

Х
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

М(Х) = m _x = 1/6 (1+2+3+4+5+6) = 3,5.

Часто математическое ожидание СВ называют средним арифметическим значением СВ.

n

∑ хi pi - для ДСВ

М(Х) = i=1 b

∫ f(х) Х dx -для НСВ

a

Основные свойства Математического ожидания:

1. Если СВ Х ³ 0, то есть все возможные значения её больше, либо равны нулю, то М(Х) ³ 0.

2. Математическое ожидание константы (const), равно самой константе. Доказательство:

Х	С
Р

М(С) = С·1 = С. М(m_x) = m _x (математическое ожидание от математического ожидания равно математическому ожиданию).

3. М(С·Х) = СМ(Х).

4. М(X+Y) = М(X) + M(Y). M(X+C) = M(X) + C.

5. Если X и Y независимые случайные величины, то:

M(X·Y) = M(X)·M(Y).

Дата добавления: 2014-12-29