Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб. Найти среднюю заработную плату

Решение:

(3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 (тыс. руб.)

Средняя арифметическая взвешенная Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим это в виде следующей формулы:

— цена за единицу продукции; — количество (объем) продукции.

Средняя арифметическая взвешенная равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Средняя арифметическая для интервального ряда При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

Пример 3. Определить средний возраст студентов вечернего отделения.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.

При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

Средняя гармоническая Используется в тех случаях когда известны индивидуальные значения признака Х и произведение Х*f, а частоты f неизвестны.

В примере ниже Х — урожайность известна, f — площадь неизвестна (хотя её можно вычислить делением валового сбора зерновых на урожайность), Х*f — валовый сбор зерна известен.

Среднегармоническую величину можно определить по следующей формуле:

Пример4. Вычислить среднюю урожайность по трем фермерским хозяйствам

В тех случаях, когда произведение Х*f одинаково или равно 1 (z = 1) для расчета применяют среднюю гармоническую простую, вычисляемую по формуле:

Средняя гармоническая простая — показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.

Средняя геометрическая простая дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины. Ее можно определить по следующей формуле:

Средние геометрические величины наиболее часто используются при анализе темпов роста экономических показателей, исчисляемых из обратных значений признака.

Для расчетов средней геометрической простой используется формула:

где:

— цепной коэффициент роста

n — число этих коэффициентов роста

П— знак произведения

m — количество уровней ряда

— значение начального уровня ряда

— значение конечного уровня ряда.

Средняя квадратическая Средние диаметры колес, труб, средние стороны квадратов определяются при помощи средней квадратической.

Среднеквадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициента вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции. Он определяет среднеквадратическое отклонение от планового выпуска продукции за определенный период по следующей формуле:

Эти величины точно характеризуют изменение экономических показателей по сравнению с их базисной величиной, взятое в его усредненной величине.

Средняя квадратическая простая вычисляется по формуле:

Средняя квадратическая взвешенная:

В статистике могут применяться также степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены,в основном, модой и медианой.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда.

Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей.

Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой.

При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

— значение моды

— нижняя граница модального интервала

h — величина интервала

— частота модального интервала

— частота интервала, предшествующего модальному

— частота интервала, следующего за модальным.

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии

частот сначала вычисляют полусумму частот,

а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2, в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков, находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

— искомая медиана

— нижняя граница интервала, который содержит медиану

— величина интервала

— сумма частот или число членов ряда

— сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

— частота медианного интервала.

Пример 5. Найти моду и медиану.

Решение:

В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Уfi/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

Глава 4.5. Практика. Решение задач.

1. Задача № 1. Объем продаж в магазине в 2008г. составил (в млн.руб.)

Таблица 1.

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Объем продаж

Используя представленные данные:

- найдите относительные показатели динамики по отношению к январю;

- найти цепные показатели динамики;

- определить среднемесячный объем продаж;

- найти средний цепной показатель динамики;

- указать медианное значение объема продаж.

Решение:

1) Относительные величины - показатели, выражающие количественное соотношений двух величин. Они получаются в результате деления одной статистической величины на другую. При этом величина, с которой сравнивают (знаменатель), называется основанием, базой сравнения или базовой величиной, а сравниваемая величина (числитель) - отчетной или текущей.

Относительная величина (ОВ) динамики - отношение фактической величины показателя в отчетном периоде к фактической его величине в предшествующем (базисном) периоде. Характеризует степень изменения явления во времени.

у1

ОВд.= --, где у1 - уровень текущего (отчетного периода);

у0 у0 - уровень базисного периода.

Пусть январь - базисный период, тогда:

ОВд.(в феврале) = ------ = 1,471 или 147,1% (получается, что объем продаж в феврале увеличился на 47,1% по сравнению

с январем).

ОВд.(в марте) = -- = 1,147 или 114,7% (получается, что объем продаж в марте увеличился на 14,7% по сравнению с

январем)

ОВд.(в апреле) = --- = 1 или 100% (объем продаж в апреле составил столько же, сколько и в январе)

ОВд.(в мае) = -- = 1,294 или 129,4% (получается, что объем продаж в мае увеличился на 29,4% по сравнению с

январем)

ОВд.(в июне) = -- = 1,118 или 111,8% (получается, что объем продаж в июне увеличился на 11,8% по сравнению с

январем).

2) Цепные показатели динамики - показатели, которые характеризуют развитие явления внутри исследуемого периода времени. Каждый последующий период сравнивается с предыдущим.

yn

ЦПд.= --, где уn - уровень текущего (отчетного периода);

yn-1 yn-1 - уровень предыдущего периода

yфевраль 50

ЦПд. = ---------------- = -- = 1,471 или 147,1% (получается, что объем продаж в феврале увеличился на 47,1% по (февраль) уянварь 34

сравнению с январем).

yмарт 39

ЦПд.= -------------- = -- = 0,78 или 78% (получается, что объем продаж в марте снизился на 22% по сравнению

(март) уфевраль 50

февралем).

yапрель 34

ЦПд.= ------------ = -- = 0,872 или 87,2% (получается, что объем продаж в апреле снизилс я на 12% по сравнению с мартом).

(апрель) умарт 39

yмай 44

ЦПд.= ----------- = ----- = 1,294 или 129,4% (получается, что объем продаж в мае

(май) уапрель 34 увеличился на 29,4% по сравнению с апрелем).

yиюнь 38

ЦПд.= ------------ = ----- = 0,864 или 86,4% (получается, что объем продаж в июне

(июнь) умай 44 снизился на 13,6% по сравнению с маем).

3) Определить среднемесячный объем продаж. Вычисляем по формуле:

х1 + х2+++ хп хi

х = --------------------------- = ----------, где хi - значение варьирующегося признака (объемов продаж) п - число единиц

п n

совокупности (число месяцев).

34+50+39+34+44+38 239

Среднемесячный объем продаж = ------------------------------------------ = ----------- = 39,83 млн.руб.

6 6

1) Найти средний цепной показатель динамики. Вычисляем:

ЦПд(фев.) + ЦПд(март)+ ЦПд(апр.)+ ЦПд(май)+ ЦПд(июнь)

ЦПд = ------------------------------------------------------------------------------------------ =

1,471+0,78+0,872+1,294+0,864 5,281

= ---------------------------------------------- = -------- = 1,0562.

5 5

5) Медиана - это значение признака, делящее пополам ранжированный (упорядоченный) вариационный ряд. Одна половина значений больше медианы, а другая меньше.

Определим медиану объема продаж магазина в 2008 году:

Поскольку мы имеем неоднородную совокупность показателей объема продаж, медианное значение будет рассчитываться, как средний показатель:

январь+февраль+март+апрель+май+июнь 239

Ме = ---------------------------------------------------------------- = ------ = 39,83 млн.руб.

6 6

Максимально приближен к этому значению показатель объема продаж в марте 2008 года. Этот показатель и будет являться медианным значением.

Задача №2. В таблице 2 приведены данные о распределении населения региона по размеру среднедушевого дохода в месяц.

Таблица 2

Среднедушевой доход в месяц (тыс.руб.)	До 5	5-10	10-15	15-20	20-30	30-40	40-50	Свыше 50
Численность населения (тыс.чел.)

К=0,1,2+.,9

Используя представленные данные в таблице 2:

- найдите среднедушевой доход;

- определите моду и медиану;

- вычислите дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

- найдите квартальный коэффициент дифференциации доходов.

Дата добавления: 2014-12-29