Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева

Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду

Дифференциальные уравнения второго порядка

Среди уравнений высших порядков, часто встречающихся в различных приложениях, важное место занимают дифференциальные уравнения второго порядка

, (84)

где - непрерывные на отрезке (a,b) функции. С помощью замены

(85)

уравнение (84) можно привести к каноническому виду

, (86)

где

. (87)

Функция (87) называется инвариантом уравнения (84).

Пример 43. Представить уравнение:

в канонической форме.

▲ В соответствии с формулой (85) вид замены для исходного уравнения будет выглядеть так:

.

В результате такой замены исходное уравнение преобразуется в уравнение вида:

,

где .▲

Дифференциальное уравнение второго порядка с помощью определенной замены искомой функции можно привести к виду, не содержащему первой производной. Например, уравнение вида

,

которое называется уравнением Чебышева, приводится к однородному линейному уравнению, не содержащему первой производной путем замены аргумента х по формуле , а именно к уравнению вида:

,

общее решение которого имеет вид

.

Исходя из этого, общее решение уравнения Чебышева будет выглядеть так:

.

Рассмотрим уравнение второго порядка вида

.

Такое уравнение можно путем замены независимой переменной вида

можно привести к виду

,

а затем с помощью замены

,

в последнем уравнении можно избавится от первой производной. Такое преобразование называется преобразованием Лиувилля.

Уравнение вида (84) иногда можно свести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены

.

Пример 44. Решить уравнение: .

▲ Для начала, положим , и подберем функцию так, чтобы после замены в полученном уравнении отсутствовал член с первой производной. Тогда вычислив производные

,

и подставив их в исходное уравнение, получим

. (*)

Для того, чтобы выполнялось поставленное условие, а именно, в этом уравнении отсутствовал член с первой производной необходимо, чтобы

,

откуда определим

.

Подставив эту функцию в уравнение (*), получим уравнение:

.

Это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Следовательно, общее решение будет иметь вид:

,

а так как в силу нашего предположения о том, что t = , то решение исходного уравнения будет иметь вид:

.▲

Задания для самостоятельной работы

Заменой независимой переменной избавится от члена с первой производной, а где необходимо произвести замену искомой функции, и проинтегрировать уравнения.

75. . 76. .

77. . 78. .

79. . 80. .

Дата добавления: 2014-12-29