КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод малого параметраЗадачи для самостоятельной работы
Найти решения уравнений в виде степенных или обобщенно степенных рядов. 92. . 93. . 94. . 95. . 96. . 97. . 98. . 99. . 100. .
Метод малого параметра может быть использован при нахождении периодических решений уравнений вида: (117) где F – известная периодическая функция по t, а m - малый параметр. Его суть заключается в том, что решение уравнения (117) ищется в виде сходящегося при малых значениях m (малых по сравнению с единицей, то есть ) степенного ряда по m: (118) Далее этот ряд подставляется в уравнение (117) после чего, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях m. При этом постоянные интегрирования, возникающие при решении уравнений относительно функций , находятся из условий периодичности функций, заключающихся в отсутствии резонирующих членов в правых частях исходных дифференциальных уравнений. Если правая часть уравнения (117) явно от t, то период решения заранее не известен. В таком случае в уравнении (117) следует сделать замену (119) где t - новая независимая переменная, и искать решение периода . При этом коэффициенты определяются из условий периодичности решений Пример 54. С помощью малого параметра найти приближенно периодические решения уравнения с периодом, равным периоду правой части уравнения: . ▲ Согласно методу малого параметра, периодическое решение ищем в виде (118), где - 2 p -периодические функции. Подставляя ряд (118) в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях m, получаем систему уравнений: Найдем общее решение первого уравнения. Запишем сначала общее решение, соответствующего ему однородного уравнения, в соответствии с корнями характеристического уравнения , а затем найдем методом неопределенных коэффициентов его частное решение подставив полученное частное решение и его вторую производную в неоднородное уравнение найдем неопределенные коэффициенты . Таким образом, частное решение будет иметь вид , тогда общее решение будет выглядеть следующим образом . Поскольку требуется найти 2 p -периодическое решение, то в последнем равенстве следует положить . Следовательно, . Принимая во внимание это значение, второе уравнение запишем в виде , и его общее решения будет иметь вид: . Отсюда в силу требования 2 p -периодичности функции х 1 имеем: . Принимая во внимание найденные значения х 0 и х 1 третье уравнение системы принимает вид: . Решая это уравнение, получим . Подставляя в исходное уравнение, приходим к искомому решению ▲
Пример 55. С помощью малого параметра найти приближенно периодическое решение уравнения: . ▲ Поскольку правая часть от t явно не зависит, то сначала сделаем замену где bi – постоянные, подлежащие определению. Тогда получим уравнение Приближенное решение этого уравнения будем искать в виде ряда Подставляя этот ряд в уравнение, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях m, получим систему уравнений Так как первое уравнение системы является однородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами, то его решение достаточно легко получить Подставив это решение во второе уравнение, получим Поскольку мы ищем периодические решения, то в этом уравнении должны положить . Отсюда следует, что . Тогда из преобразованного второго уравнения системы нетрудно найти, что Учитывая найденные , третье уравнение системы можно представить в виде: Отсюда видим, что условием отсутствия резонирующих членов является выполнение равенств: . Таким образом, и ▲
Задания для самостоятельной работы С помощью малого параметра найти приближенно периодические решения уравнений. 101. . 102. . 103. .
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 1041; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |