Уравнения Эйлера

Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами

Линейные уравнения с переменными коэффициентами вида

(75)

(75¹)

или

(76)

(76¹)

называются уравнением Эйлера. Здесь - постоянные коэффициенты.

С помощью подстановки

(77)

для уравнения (75), (75¹) и

(78)

для уравнения (76), (76¹) оба эти уравнения сводятся к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого необходимо вычислить производные, например, от (77) по новой переменной t:

, (79)

……………………………………………………………

.

Подставив значения (79) в уравнение (75), получим новое уравнение с постоянными коэффициентами

, (80)

которое называется преобразованным уравнением, по отношению к уравнению (75). Интегрируя это уравнение, находится решение и далее после возвращения к старой переменной в соответствии с формулой (77) - , найдем решение уравнения (75). Решения уравнений (75¹), (76), (76¹) находятся аналогичным способом.

Пример 37. Найти решение уравнения: .

▲ Полагая или , найдем .

Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:

.

Подставив в исходное уравнение, получим

.

Следовательно, мы получили однородное линейное уравнение. Его характеристическое уравнение имеет корни . Поскольку корни действительные и кратные, с кратностью равной двум, то общее решение будет иметь вид:

.

Перейдя к переменной х, окончательно получим общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 38. Найти решение уравнения:

.

▲ Полагая или , найдем .

Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:

.

Подставив в исходное уравнение, получим

. (*)

Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами Общее решение соответствующего ему однородного уравнения (см. пример 36) имеет вид

,

а частное решение можно получить методом неопределенных коэффициентов.

Поскольку параметры правой части неоднородного уравнения (*) равны, соответственно, a =0, b = 1, q = 0, l = 0 и число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому s =0, и m = max(q,l) = 0. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

Вычислим производные от

и подставив их в уравнение (*), получим

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях этого уравнения

Следовательно, частное решение уравнения (*) имеет вид

,

а общее решение уравнения (*) будет выглядеть так:

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

Частные решения однородного уравнения Эйлера (75)

,

также можно получить, если использовать подстановку вида:

(81)

Вычислив производные

,

и подставив их в уравнение (75) и сокращая на , получим

(82)

Это уравнение п -ой степени относительно k имеет п корней: ; если все корни различны, то мы получаем п линейно независимых частных решений , следовательно, общее решение будет иметь вид:

. (83)

Пример 39. Найти решение уравнения:

.

▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (82) принимает вид:

,

откуда . Мы видим, что корни действительные и различные, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид

.▲

Кроме того, уравнение (82) будет характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (80)

,

так как . Следовательно, кратному корню кратности a уравнения (82) будут соответствовать частные решения преобразованного уравнения

а общее решение преобразованного уравнения будет иметь вид:

.

С учетом того, что , общее решение уравнения Эйлера принимает вид:

.

Пример 40. Найти решение уравнения: .

▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (82) принимает вид:

,

откуда Мы видим, что корни кратные с кратностью равной 2, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид: .▲

Комплексным сопряженным корням кратности a уравнения (82) будут соответствовать частные решения

преобразованного уравнения или с учетом того, что частные решения

исходного уравнения Эйлера.

Пример 41. Найти решение уравнения: .

▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (82) принимает вид:

,

откуда , Мы видим, что корни комплексные, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид

.▲

Пример 42. Найти решение уравнения:

.

▲ Это уравнение Эйлера вида (76), поэтому его решение ищем в виде , тогда уравнение (82) принимает вид:

,

откуда , Мы видим, что корни действительные и различные, причем среди них имеется двукратный корень- . Поэтому частными решениями будут

,

а общее решение имеет вид

.▲

Задания для самостоятельной работы

Проинтегрировать уравнения Эйлера.

61. . 62. .

63. . 64. .

65. . 66. .

67. .

68. . 69. .

70. .

Привести уравнения к уравнениям с постоянными коэффициентами и найти их решения.

71. . 72. .

73. . 74. .

Дата добавления: 2014-12-29