Однородное уравнение

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородное уравнение вида

, (44)

в котором коэффициенты - постоянные вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех х и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Общее решение уравнения (44) имеет вид (35)

где - произвольные постоянные, и определено в области (36)

a < x < b, < +¥, < +¥, …, < +¥.

Рассмотрим метод нахождения общего решения уравнения (44), который предложил Эйлер. Суть его заключается в том, что частное решение уравнения (44) ищется в виде

, (45)

где l - некоторое вещественное или комплексное постоянное число, подлежащее определению.

Подставляя (45) в уравнение (44), будем иметь

, (46)

поделив это уравнение на , получим алгебраическое уравнение вида

, (47)

которое называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (44).

Структура фундаментальной системы решений , а также общего решения уравнения (44) зависит от вида корней характеристического уравнения (47).

Рассмотрим правила построения фундаментальной системы, а также позволяющие решить задачу нахождения общего решения однородного уравнения.

Правило 1. Если все корни характеристического уравнения (47) различные и действительные числа, то есть , то соответствующее им частные решения

образуют фундаментальную систему, следовательно, общее решение уравнения (44) в этом случае имеет вид:

, (48)

где - произвольные постоянные.

Правило 2. Корни характеристического уравнения (47) различные и среди них имеются комплексные, то есть .

Соответствующее корню решение принимает мнимую форму:

.

Чтобы освободиться от мнимой формы, преобразуем это решение по формуле Эйлера:

.

Отсюда получаем два линейно независимых частных решения уже в вещественной форме:

и . (49)

Таким образом, корням в формуле общего решения уравнения (44) соответствует выражение вида

, (50)

так как сопряженный корень не дает новых решений, не содержащихся в формуле (50).

Если корни характеристического уравнения чисто мнимые: , то соответствующими независимыми частными решениями будут

.

Следовательно, корням в формуле общего решения уравнения (44) соответствует выражение вида

, (51)

где - произвольные постоянные.

Правило 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.

3.1. Пусть среди корней характеристического уравнения есть равные действительные корни , то корню l ₁ кратности k соответствуют k линейно независимых частных решения

,

а соответствующая компонента общего решения уравнения (40) имеет вид:

, (52)

где - произвольные постоянные.

3.2. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень кратности k, а это значит, что есть также и сопряженный ему корень той же кратности. В этом случае паре корней соответствуют 2 k линейно независимых частных решения:

Следовательно, соответствующая компонента общего решения уравнения (44) имеет вид:

, (53)

где и - произвольные постоянные.

Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами

1. Записать характеристическое уравнение (47).

2. Найти корни характеристического уравнения.

3. Пользуясь правилами 1-3, выписать общее решение уравнения в зависимости от типа корней.

Пример 22. Найти общее решение уравнения: .

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение: .

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Поскольку корни действительные и различные, то по правилу 1 им ставятся в соответствие функции , которые составляют фундаментальную систему линейно независимых решений исходного уравнения. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 23. Найти общее решение уравнения:

.

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

.

После преобразований это уравнение можно привести к виду:

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1 и 2:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

В пункте 3 нашего решения мы утверждали, что наша фундаментальная система состоит из линейно независимых решений. Проверим, соответствует ли это утверждение действительности.

Проведем доказательство того, что наши частные решения являются линейно независимыми в любом интервале изменения х, от противного, положим, что выполняется тождество:

.

Разделим это тождество на е^х:

,

дифференцируем:

.

Делим на e^{-2 x} :

,

и еще раз дифференцируем:

.

Делим полученное тождество на :

.

Это тождество может выполняться только при условии:

Отсюда вытекает, что , а это противоречит нашему предположению, что . Следовательно, решения, составляющие фундаментальную систему, являются линейно независимыми. ▲

Пример 24. Найти общее решение уравнения:

.

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

.

2. Это характеристическое уравнение имеет корни:

.

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные, причем комплексные корни являются кратными. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1, 2 и 3. Корню соответствует решение , а каждому из двукратных корней и , отвечают решения: Совокупность этих пяти решений - образует фундаментальную систему линейно независимых решений. Следовательно, общее решение запишется так:

.▲

Дата добавления: 2014-12-29