Однородное уравнение. Линейные уравнения высших порядков

Введение

Линейные уравнения высших порядков

Линейным уравнением п -го порядка называется уравнение вида

, (26)

где все непрерывные на некотором отрезке [a,b] функции. Считая можно разделив уравнение (26) на и вводя новые обозначения

,

представить уравнение (26) в виде:

. (27)

Если при всех значениях х функция f(x) равна нулю, то уравнение (27) будет называться однородным линейным уравнением

, (28)

в противном случае – неоднородным линейным уравнением.

Левая часть уравнения (28) может обозначаться кратко через линейный дифференциальный оператор - . Тогда уравнение (28) можно записать в виде

(28^′ )

Поскольку коэффициенты уравнения (26) являются непрерывными на отрезке [a,b] функциями, то и коэффициенты уравнения (27) также будут непрерывными на отрезке [a,b] функциями. Тогда уравнения (26) и (27) будут иметь единственное решение у = у (х), определенное во всем интервале [a,b] и удовлетворяющее начальным условиям:

, (29)

причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, а х ₀ нужно брать из интервала [a,b].

Всякое решение линейного уравнения является частным решением и особых решений оно не имеет. Кроме того, однородное линейное (28) уравнение всегда имеет нулевое решение и оно удовлетворяет нулевым начальным условиям

, (30)

причем других решений с такими же начальными условиями, нет.

Для построения общего решения однородного линейного уравнения (28) достаточно знать п линейно независимых в интервале [a,b] частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

a < x < b,

где - постоянные числа, может выполняться только в том случае, когда . Такая система решений называется фундаментальной. Для того, чтобы система решений была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы решения были линейно независимыми, а также ее определитель, который называется определителем Вронского или вронскианом

, (31)

должен быть отличным от нуля хотя бы в одной точке из интервала [a,b].

Пример 18. Дано уравнение: . Составляют ли фундаментальную систему решений функции , являющиеся решениями этого уравнения?

▲ Фундаментальная система решений должна состоять из линейно независимых решений исходного уравнения. Поэтому необходимо выяснить являются ли функции линейно независимыми. Для этого вычислим вронскиан:

.

Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, функции являются линейно зависимыми, а поэтому они не могут составлять фундаментальную систем. Таким образом, составить общее решение по этим частным решениям нельзя. ▲

Вронскиан п решений однородного линейного уравнения п -го порядка связан с первым коэффициентом уравнения (28) формулой Остроградского – Лиувилля:

. (32)

Формула Остроградского-Лиувилля может быть использована для интегрирования линейного уравнения второго порядка вида

, (33)

если известно одно нетривиальное решение этого уравнения . Согласно формуле Остроградского-Лиувилля любое решение этого уравнения второго порядка должно быть также решением уравнения

Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка можно воспользоваться методом интегрирующего множителя. Умножая на , получим

или

. (34)

Пример 19. Найти общее решение уравнения: , если известно одно его частное решение .

▲ По формуле (34) находим

.▲

Фундаментальная система решений однородного уравнения (28) называется нормированной в точке х = х ₀, если эти решения удовлетворяют соответственно следующим начальным условиям:

при х = х ₀.

Если найдена фундаментальная система решений однородного уравнения (28), то формула

, (35)

где - произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области

a < x < b, < +¥, < +¥, …, < +¥. (36)

Все решения уравнения (28) содержаться в формуле (35).

Дата добавления: 2014-12-29