Неоднородное линейное уравнение

Для построения общего решения неоднородного линейного уравнения (27)

достаточно найти одно его частное решение у ₁ и присоединить к нему общее решение

,

соответствующего ему однородного уравнения

.

Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения в области (36) имеет вид:

. (37)

Все решения неоднородного линейного уравнения (27) содержатся в формуле (37).

Если правая часть уравнения (27) состоит из нескольких слагаемых

, (38)

то его частное решение будет равно сумме частных решений

(39)

уравнений с той же левой частью и правой частью, равной каждому из слагаемых в отдельности

Если известно одно частное решение однородного уравнения (27), то можно с помощью замены

, (40)

где z – неизвестная функция, понизить его порядок, а следовательно, и порядок соответствующего ему неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (п – 1)-го порядка относительно z также является линейным.

Пример 20. Найти общее решение уравнения: , если известно одно его частное решение .

▲ На этот раз, в отличие от примера 18, воспользуемся формулой (40). Произведем замену ; тогда вычислив производные

и подставив их в исходное уравнение, получим уравнение

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

,

которое совпадает с выражением общего решения примера 19. ▲

Для нахождения общего решения неоднородного уравнения обычно применяют метод вариации произвольной постоянной или как его еще называют метод Лагранжа. Этот метод показывает, что решение неоднородного уравнения сводится по сути дела к решению соответствующего ему однородного уравнения, т.к. зная фундаментальную систему решений однородного уравнения можно найти частное решение у неоднородного уравнения в виде:

, (41)

где - некоторые непрерывно дифференцируемые функции от х, которые необходимо определить. Эти функции можно найти из следующей системы:

(42)

Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского для системы решений , который отличен от нуля при любом значении х из интервала [a,b]. Поэтому система (42) дает единственное решение относительно при любом значении х из интервала [a,b]:

откуда

. (43)

Подставляя значения в формулу (41), получим искомое частное решение неоднородного линейного уравнения (27).

Для уравнений второго порядка вида

система (42) имеет вид

Решение этой системы можно найти по формулам

.

Следовательно, зная выражения для можно сразу записать вид общего решения исходного неоднородного уравнения 2-го порядка:

,

где W (y ₁, y ₂) – вронскиан решений y ₁ и y ₂ однородного уравнения, соответствующего исходному неоднородному уравнению.

Пример 21. Найти общее решение уравнения:

.

▲В примере 19 было найдено общее решение однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению

.

Поэтому в соответствии с правилом построения частного решения по методу Лагранжа, представим частное решение исходного уравнения в виде (41)

.

Далее составим систему (42)

.

Разрешая эту систему относительно , получим

Следовательно, частное решение исходного уравнения будет иметь вид:

.

Это же решение можно получить, если использовать формулу

,

с учетом того, что

, частное решение имеет вид:

.▲

Дата добавления: 2014-12-29