Основные понятия. Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

Дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида:

. (1)

Если это уравнение является уравнением, разрешенным относительно старшей производной, то может быть записано в виде:

(2)

Функция называется решением (1) или (2) в некотором интервале [a,b], если для всех значений х из этого интервала выполняется тождество:

, (3)

или

(4)

При этом предполагается, что функция имеет непрерывные производные до n -го порядка включительно и что точка [ ] принадлежит области определения функции ; если речь идет об уравнении (2), то точка принадлежит области определения функции . График решения есть интегральная кривая.

Задача Коши для уравнения n -го порядка состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям:

при , (5)

где - заданные числа, которые называются начальными данными, или начальными условиями.

Функция называется общим решением уравнения n -го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных С ₁, С ₂, С ₃ ,…, С_n эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения. Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных С ₁, С ₂, С ₃ ,…, С_n, называется частным решением этого уравнения.

Во многих случаях, интегрируя уравнение (2), получают соотношение вида:

(6)

Такое соотношение называется промежуточным интегралом k -го порядка уравнения (2).

Промежуточный интеграл вида:

(7)

называется первым интегралом.

Зная k независимых первых интегралов, можно понизить порядок уравнения на k единиц. Знание п независимых первых интегралов дает возможность путем исключения производных получить общий интеграл.

Интегрирование дифференциальных уравнений n -го порядка (в конечном виде) удается произвести только в некоторых случаях, которые мы далее рассмотрим.

2. Виды интегрируемых нелинейных уравнений п -го порядка

2.1. Дифференциальное уравнение вида

Дифференциальное уравнение вида может быть проинтегрировано, если уравнение можно разрешить или относительно или же относительно .

Действительно, в первом случае имеем

, (8)

где C_j () – произвольные постоянные.

Во втором случае полагаем . Тогда и , откуда

.

Аналогично находятся

,

где g и w - известные функции.

Таким образом, общее решение уравнения находится в параметрической форме, а именно:

(9)

Иногда уравнению удовлетворяют параметрические уравнения:

,

т.е. при t Î(t ₀, t ₁). Тогда, действуя аналогично изложенному выше, получаем параметрические уравнения общего решения, имеющего вид (9).

Пример 1. Найти общее решение уравнения: и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:

при х = 0.

▲ Интегрируя последовательно исходное уравнение, получим

Найдем решения, удовлетворяющие начальным условиям. Подставим начальные данные в полученную систему:

откуда найдем С ₁ = 1 и С ₂ = 3. Поэтому искомое решение будет иметь вид:

.▲

Пример 2. Найти общее решение уравнения: .

▲Так как интеграл от правой части не выражается в элементарных функциях, то вместо последовательного интегрирования можно воспользоваться формулой (8). Полагая в ней п = 2 и х ₀ = 0, получаем

.▲

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения: .

▲ Это уравнение разрешается относительно : и . Интегрируя эти уравнения, получим:

и

Совокупность этих общих решений образует общий интеграл исходного уравнения. Его можно записать в виде:

.▲

Пример 4. Найти решения уравнения: .

▲ Это уравнение разрешается относительно :

и .

Для решения этих уравнений введем параметр t, положив, например, . Тогда получим:

и .

Решим первое из этих двух уравнений. Используем равенства

, а dx найдем из ,а именно ,

Интегрируя последнее выражение, находим:

.

Для того, чтобы найти у ₂ необходимо поступить аналогичным образом:

.▲

Пример 5. Найти решения уравнения:

.

▲ Это уравнение неразрешимо относительно . Однако оно разрешимо относительно х:

и поэтому, если принять за t, то получим параметрическое представление исходного уравнения:

Из этого уравнения найдем выражение для dx:

,

которое, вместе с подстановкой, , подставим в известное выражение: , а именно:

.

Далее из выражения , находим:

.▲

Пример 6. Найти общее решение уравнения:

.

▲ Это уравнение разрешимо относительно :

.

Для решения этого уравнения введем параметр t по формуле . Тогда предыдущее уравнение можно представить в виде:

.

Так как , то в силу параметрических представлений производных получим уравнение:

,

интегрирование которого дает

.

Функцию у найдем из уравнения , или , пользуясь предыдущим уравнением для нахождения dx:

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

2.2. Дифференциальное уравнение вида

Дифференциальное уравнение вида можно проинтегрировать, используя для этого замены

. (10)

Далее принимая во внимание, что

,

найдем:

. (11)

Функцию у можно найти из уравнения способом, описанным в п. 2.1.

Пример 7. Найти общее решение уравнения:

.

▲ Это уравнение вида при п = 3. Следовательно, можем ввести замены:

,

откуда . Интегрируя последнее уравнение, находим:

.

Для получения функции у воспользуемся уравнением . Тогда , откуда

.

Интегрируя еще раз, получим:

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения, представленное в параметрической форме имеет вид:

.▲

Для решения уравнения вида можно применить и другой способ, заключающийся в том, что вводится новая функция от х: , согласно формулы . После ее подстановки исходное уравнение приводится к уравнению 1-го порядка:

,

разрешая которое, находим . Функция у находится из уравнения последовательным интегрированием.

Пример 8. Найти общее решение уравнения: .

▲ Это уравнение вида . Полагая в нем , получим уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными:

,

общее решение которого имеет вид:

.

Следовательно ▲

2.3. Дифференциальные уравнения вида

Пусть заданные функции удовлетворяют уравнению вида . Тогда уравнение вида можно проинтегрировать. Действительно, имеем,

(12)

или, если ввести обозначение , то

. (13)

Из первого уравнения находим

(14)

Используя второе уравнение, получаем

. (15)

Если положить , то предыдущее уравнение примет вид уравнения Бернулли

, (16)

которое с помощью подстановки сводится к неоднородному линейному уравнению:

. (17)

Выписать решение этого уравнения можно, используя формулу Эйлера:

. (18)

Далее, используя , найдем . После чего, подставив в , мы сможем найти х:

. (19)

Для получения функции интегрируем раза уже известным способом уравнение .

Таким образом, получаем общее решение рассматриваемого уравнения в параметрической форме.

Пример 9. Найти общее решение уравнения: .

▲ Это уравнение вида при п = 2. Используя замену (12) будем иметь:

где . Тогда уравнение (16) принимает вид

,

где , и, которое можно свести к линейному уравнению с помощью замены :

Для решения этого неоднородного линейного уравнения воспользуемся формулой Эйлера (18):

,

откуда

.

Поскольку , то можно найти х:

.

Полученная функция х будет иметь разные значения в зависимости от значения произвольной постоянной С ₁. Например, если С ₁ > 0, то

,

если С ₁ < 0, то

,

если С ₁ = 0, то

Функцию у найдем из уравнения с учетом того, что ,

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения в параметрической форме будет иметь вид:

.▲

Дата добавления: 2014-12-29