Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных

Если дифференциальное уравнение вида является однородным относительно искомой функции и ее производных, т.е. справедливо тождество:

, (23)

то порядок уравнения можно понизить на единицу, положив

Действительно, последовательно дифференцируя соотношение , имеем:

где - известная функция.

Далее, подставив значения производных в уравнение (23) и используя однородность функции F, получаем:

.

Правая часть тождества представляет собой уже уравнение -го порядка. Если мы найдем его общее решение

,

то, заменив z на , получим

.

Интегрируя это уравнение, имеем

.

Это общее решение исходного уравнения (23).

Пример 15. Найти общее решение уравнения:

.

▲ Введем подстановку и вычислим вторую производную

.

Подставив в исходное уравнение, получим

,

сократив на , будем иметь:

, или .

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получим:

.

Далее с учетом того, что , будем иметь

.

Интегрируя это уравнение, получим

.

Это общее решение исходного уравнения. ▲

3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида

Дифференциальное уравнение вида

, (24)

называется обобщенно однородным, если функция F удовлетворяет тождеству

Если уравнение (24) обобщенно однородное, то замена переменных

, (25)

приводит к уравнению, явно не содержащему независимую переменную t. Следовательно, порядок такого уравнения можно понизить. Вычислим производные

Подставляя значения этих производных в уравнение (24) и пользуясь обобщенной однородностью, получаем:

Пример 16. Найти общее решение уравнения: .

▲ Проверим исходное уравнение на обобщенную однородность. С этой целью вместо переменных подставим в выражение для функции соответственно и, если это возможно, подберем значение t таким образом, чтобы выполнялось тождество

.

Очевидно, что это тождество выполняется при t =1/2 . Следовательно, исходное уравнение представляет собой обобщенно однородное уравнение, и поэтому для его решения воспользуемся заменой (25)

.

Далее вычислим производные в новых переменных

Подставим значения этих производных, а также х и у в исходное уравнение. После преобразований придем к уравнению:

.

Это уравнение явно не содержит переменную t, поэтому посредством замены понизим его порядок на единицу:

.

Проинтегрировав последнее уравнение, находим

, т.к. , то .

Интегрируя это уравнение, находим

,

откуда .

Таким образом, окончательно получаем решение исходного уравнения в параметрической форме:

.▲

3.5. Уравнения, приводимые к виду

Если путем алгебраических преобразований дифференциальное уравнение вида (24)

можно привести к виду

,

то интегрированием его порядок можно понизить на единицу:

,

где - известная функция.

Пример 17. Найти общее решение уравнения:

.

▲ Поделив обе части этого уравнения на , получаем

.

Интегрируя, находим

.

Умножив обе части этого уравнения на , снова получаем уравнение, обе части которого являются полными производными:

.

Проинтегрировав это уравнение, имеем

,

разделяя переменные

и интегрируя, окончательно получаем

При делении на мы потеряли решение . Следовательно, , где , также будет решением исходного уравнения. ▲

Задания для самостоятельной работы

Проинтегрировать уравнения и, где указано, найти решения, удовлетворяющие начальным условиям.

11. . 12. . 13. .

14. . 15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. . 27. .

Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям

28. .

29. .

30. .

Дата добавления: 2014-12-29