Типові задачі фінансової математики

Тема 3: Визначення вартості грошей у часі та її використання у фінансових розрахунках

Практичне заняття за темою:

В основі фінансової математики лежить поняття тимчасової вартості грошей. Різноманітність завдань щодо визначення зміни вартості грошей у часі можна поєднати у такі групи:

І. Нарощення (компаундирування) - визначення майбутньої вартості грошей

1.1) вкладених одночасно на певний термін під певний процент (просте компаундирування);

1.2) вкладених рівними частками через рівні проміжки часу під певний процент (FV або S ануїтетів або ренти):

1.2.1) компаундирування звичайної (відстроченої) ренти - це визначення S ренти, вклади по якій проводяться в кінці кожного періоду;

1.2.2) компаундирування вексельної ренти - визначення FV або S ренти, вклади по якій проводяться на початку кожного періоду.

II. Дисконтування - визначення поточної (теперішньої) вартості грошей (англ. РV або Р):

2.1) отриманих у майбутньому одночасно (просте дисконтування);

2.2) отриманих у майбутньому через рівні проміжки часу:

2.2.1) в кінці кожного періоду - це визначення теперішньої вартості звичайних ануїтетів, або РV або Р: звичайної (відстроченої) ренти;

2.2.2) на початку кожного періоду - це визначення РV або Р вексельної ренти.

У процесі нарощення і дисконтування грошей розглядаються наступні чотири взаємозалежних фактори: сучасне значення грошей, майбутнє значення грошей, час, виражений у днях t або числом періодів п, норма прибутковості (процентна ставка) r.

Характер взаємин між ними визначається способом нарахування відсотків. Розрізняють дві схеми їх нарахування: прості відсотки і складні відсотки.

У схемі простих відсотків нарахування доходу на інвестовану суму грошей здійснюється завжди виходячи з початкової суми інвестицій.

Таким чином, загальна формула нарахування простих відсотків має наступний вид:

FV_п = PV×(1+ п r) (3.1)

У формулі (3.3) п може мати дробове значення, коли мова йде про частину періоду (року), наприклад, якщо банк видав позичку на t днів, а в році 365 днів, то (коли знаменник приймається 365 днів - визначаються точні відсотки, а коли 360 – наближені або ж комерційні):

FV_п = PV×(1+ t /365 r) (3.2)

Кредитна угода може вироблятися при процентній ставці, що змінюється. В цьому випадку нарощення проводиться по формулі

FV_п = PV×(1+ п_i r_i) (3.3)

п_i — загальна кількість періодів, протягом яких діє процентна ставка r_i

Дисконтування при простих відсотках здійснюється за допомогою формули:

PV =FV_п ×(1+ п r) ^-l, (3.4)

Визначення процентної ставки проводимо за формулою:

r =(FV_п – PV)/ п × PV (3.5)

Суть дисконтної ставки полягає в тому, що доход інвестора нараховується на суму, що підлягає до оплати наприкінці терміну кредитування, а не на початкову суму.

За аналогією визначимо дисконтну ставку d, як наступне відношення: d= (FV_n – PV п)/ п × FV_п (3.6)

Звідси легко випливає формула для дисконтування у випадку використання дисконтної ставки для схеми простих відсотків:

PV = FVn (1 – n ×d). (3.7)

Звідси:

FVn = PV / (1 – n ×d). (3.8)

Складним відсотком називається сума доходу, що утвориться в результаті інвестування грошей за умови, що сума нарахованого простого відсотка не виплачується наприкінці кожного періоду, а приєднується до суми основного внеску й у наступному платіжному періоді сама приносить доход.

Загальна формула для нарахування складних відсотків має наступний вид:

FVп = PV (1 + r)ⁿ (3.9)

Поточне (сучасне) значення вартості визначеної майбутньої суми грошей обчислюється за допомогою формули:

PV = FVп / (1 + r)ⁿ (3.10)

Якщо процентна ставка r змінюється в різні періоди часу, то в цьому випадку формули (3.9) і (3.10) узагальнюються в такий спосіб:

FVn = PV(1+r₁) ×(1+r₂) ×...× (1+r_k) або

FVп = PV × (3.11)

PV = FVп / (3.12)

Розглянемо співвідношення між показниками нарощення для простих і складних відсотків. За допомогою простих алгебраїчних міркувань неважко установити:

- якщо п < I року, то 1 + n × r > (1 + r)^п. Інвестувати при простих відсотках більш вигідно;

- якщо п > 1 року, то 1 + n × r < (1 + r)^п Більш прийнятна для інвестора є схема складних процентів.

- якщо n = I рік, то 1 + n × r = (1 + r)^п. У цьому випадку вибір варіанта значення не має.

Нехай відсотки нараховуються т раз у році, тоді процентна ставка в перерахунку на період дорівнює r / m, а кількість періодів пт. Відповідно до вихідної формули (3.11) нарощення буде відбуватись за допомогою наступного співвідношення:

FV_п= PV(1 + r/ т)^{п× т} (3.13)

Формула для обчислення дійсної вартості також приймає наступний узагальнений вид:

PV = FV_п (1 + r/ т) ^{– п × т} (3.14)

Сьогодення характерне процесами інфляції, яка характеризується двома параметрами:

Т- темп інфляції (у відсотках чи частках одиниць) – це процентне збільшення деякої усередненої ціни (наприклад, ціни споживчого кошика);

І- індекс інфляції: І = 1+ Т..

Звичайно і темп, і індекс інфляції прив'язують до конкретного проміжку часу. Так що:

(3.15)

де х_i — обсяг i-го ресурсу;

p_i — ціна одиниці i-го ресурсу на початку періоду,

р_i0 — ціна одиниці i-го ресурсу наприкінці періоду.

Економічний зміст такого перерахування: коректуванню на інфляцію підлягає не тільки основна сума коштів, але і процентний доход інвестора, тобто

FV=PV(1 + r_р + Т + r_р Т) = PV(1 + r_р)(1+ Т) (3.16)

Таким чином для розрахунку норми прибутковості можна використати наступну формулу:

r = r_р + Т + r_р × Т = r_р + IP, (3.17)

Т + r_р × Т = IP

де ІP - інфляційна премія.

r – Т = r_р (1+ Т)

r_р= (r – Т) / (1+Т)

Через інфляцію вводяться два поняття:

1. Номінальна вартість грошей FVн - обсяг грошової маси, що буде отриманий інвестором у майбутньому через визначений термін за умови, що норма прибутковості за контрактом складає r:

FV_н = PV(1+r)^п. (3.18)

2. Реальна вартість грошей FVр - це величина грошової маси, що була б отримана інвестором у за умови якщо не змінюються ціни і темп інфляції дорівнює 0. Для розрахунку реальної вартості грошей використовується наступне коректування:

FV_р= PV(1 + r_р)^п = PV(1 + r_р)^п / (1 + Т)^п (3.19)

Елемент грошового потоку прийнято позначати CFк (від Cash Flow), де k - номер періоду, у який розглядається грошовий потік. Дійсне значення грошового потоку позначене PV, а майбутнє значення - FV.

Нарощення грошових потоків здійснюється з допомогою багаторазового використання формули (3.20):

FV = CF₁ (1 + r)^п-1+ CF₂ (1 + r)^п-2+ + CF_п (1 + r)^п-к чи:

FV = CF_к (1 + r)^п-к (3.20)

У даному випадку грошовий потік складається з однакових щорічних грошових сум. Такий потік називається ануїтетом. Для обчислення майбутнього значення ануїтету використовується формула

FV=CF (1 + r)^п-к (3.21)

яка випливає з (3.20) при CFк = const

Розрахунок майбутнього значення ануїтету може проводитися за допомогою спеціальних фінансових таблиць.

Дисконтування ануїтету (CFt = const) здійснюється по формулі (3.22).

РV=CF 1/(1 + r)^к (3.22)

Для розрахунку поточного (теперішнього, сучасного) значення ануїтету може бути використана таблиця чи наступне кінцеве співвідношення:

РV=CF [1 - (1 + r) ^{– п} ] / r (3.23)

Сучасне значення нескінченного (за часом) потоку коштів визначається по формулі:

РV=CF / r (3.24),

Яку одержуємо шляхом підсумовування нескінченного ряду, обумовленого формулою (3.23), при п→∞

Дисконтування грошового потоку припускає дисконтування кожного його окремого члену з наступним підсумовуванням отриманих результатів. Для цього використовується дисконтний множник математичного дисконтування по складній процентній ставці і.

Операції нарощення і дисконтування грошових потоків взаємо оборотні, тобто нарощена сума ренти може бути отримана нарахуванням відсотків по відповідній складній ставці на сучасну (приведену) величину цієї ж ренти S = PV× (1 + і)ⁿ).

Чиста приведена вартість(NPV).

Порівнюючи між собою приведені величини грошових припливів і відтоків по фінансовій операції, визначають найважливіший фінансовий показник чиста приведена вартість (NPV). Найбільш загальна формула визначення цього показника:

NPV = І₀+ PV (3.25)

де I₀ – початкові інвестиції в проект (відтік грошей),

PV – приведена вартість майбутніх грошових потоків по проекту.

Крім правильного обчислення чистої приведеної вартості, необхідно розуміти її фінансовий зміст. Позитивне значення цього показника вказує на фінансову доцільність здійснення операції чи реалізації проекту, а негативна NPV свідчить про збитковість інвестування капіталу.

Практичне завдання по переходу від теперішньої вартості до майбутньої(компаундирування)

Приклад 1: Підприємець хоче покласти на депозит в банк на три роки 100 гр. од. Процентна ставка, яку банк виплачує за рік і = 5%. Виплата відсотків здійснюється у кінці року. Визначити майбутню вартість грошової одиниці.

Рішення

INT =100×0,05=5гр.од.

в кінці першого року сума складе 100+5=105 грош.од

INT- грошовий вираз відсотка, який отримає підприємець наприкінці першого року (множник).

FVп = РV (1+і)^п = 100 ×(1+ 0,05)³ =115,76

(1+і)^п = (FVIF i,n)

(FVIFi,n) – фактор майбутньої вартості процента

Приклад 2. Підприємець хоче покласти на депозит на трирічний строк по 100 гр. од. у кінці кожного року під 5% річних. Яку суму він матиме по закінченні трьох років?

Рішення

Для розв'язання задачі треба розрахувати майбутню вартість ануїтетів, або ренти, (FVАn.) Здійснюється нарахування платежу на платіж до п-го періоду. Сума цих платежів і є майбутньою вартістю ануїтету.

FVАn = РМТ (1+і)⁰ + РМТ (1+і)¹ + РМТ (1+і)²+ + РМТ (1+і)^п-1 =

= РМТ = РМТ×[(1+і)^п - 1] / і = РМТ × FVIFАi,n

Зверніть увагу: внаслідок того, що перша виплата проводиться у кінці першого періоду, процент виплачується вже у другому періоді.

Таким чином, компаундирування здійснюватиметься не для п періодів, а для (п - 1) періодів. Остання виплата проводиться у самому кінці, тому проценти по ній не нараховуються.

FVIFАi,n- фактор процента майбутньої вартості ануїтетів.

Таким чином. п=3 роки, і=5%, РМТ=100

FVАn = 100×[(1+0,05)³ - 1] / 0,05 = 315,25 грн

FVIFАi,n = 3,1525

Приклад 3. Підприємець хоче покласти на депозит на трирічний строк, вносячи по 100 гр. од. на початку кожного року під 5% річних. Яку суму він матиме по закінченні трьох років?

Рішення

Суму FVАn визначаємо для випадку вексельної ренти (гроші вносяться на початку кожного року). Тепер ми повинні нараховувати проценти ще на один додатковий рік:

FVАn = РМТ × FVIFАi,n = 100×3,1525×1,05 = 331,01

Тобто ми одержимо більше процентів за вексельною рентою ніж за звичайною.

Приклад 4. Підприємець має вибір щодо вкладення грошей на депозит: одночасно на три роки під 5% річних або протягом трьох років рівномірними частками, тобто по 100 грн. Який вибір він зробить?

Рішення

1. FVп = РV (1+і)^п = 300 ×(1+ 0,05)³ =300×1,1576=347,28

2. FVАn= РМТ×[(1+і)^п - 1] / і = РМТ × FVIFАi,n = 100×3,1525=315,25

315,25-300=15,25

Бачимо, що приріст від вкладання одночасно в 3 рази більший, ніж частками. Це підтверджує теорію, що із зростом ризику також зростає винагорода за ризик.

Завдання по визначенню поточної вартості грошей (дисконтування)

Приклад 5. Підприємцю запропонували вибір інвестування коштів:

1 варіант – трирічна рента з виплатою 100грош.од. в кінці кожного року,

2 варіант – трирічна рента з виплатою 100 грош.од. на початку кожного року,

3 варіант – одноразова виплата всієї суми, 300 грош. од. по закінченню трьох років.

Процентна ставка 5% у всіх випадках. Який варіант доцільно вибрати підприємцю?

Рішення

1.Визначимо поточну вартість кожного потоку грошей, потім підсумуємо ці показники і одержимо РV ренти.

РVАn= РМТ×[1/ (1+і)]¹ + РМТ×[1/ (1+і)]² +... + РМТ×[1/ (1+і)]^пі =

= РМТ = РМТ[ ] = РМТ × РVIFАi,n

Фактор РVIFАi,n – показник ануїтетів за п кількість періодів, дисконтований на і процентів. РVIFАi,n= 2,7232грош.од.

РVАn = 100× РVIFАi,n = 100× 2,7232=272,32грош.од.

2. За вексельної ренти кожний платіж буде зміщений ліворуч на один рік, тобто дисконтуватиметься на один рік менше.

Принцип обчислення такий самий, як і за звичайного ануїтету. При вексельному ануїтеті кожний період дисконтується однією виплатою. Оскільки виплати виконуються швидше, вексельна рента має більшу вартість, ніж звичайна. Рівняння для вексельної ренти:

РVАвексельна= РМТ × РVIFАi,n РМТ × (1+і)

РVАвексельна= 100 × 2,7232 × 1,05= 285,94грош.од.

3. За допомогою рівняння теперішньої вартості грошей отримаєм о:

Р V = FVп (1/ 1+і)^п= FVп РVIF_5%,3 = 300×0,8638 =259,14грош.од.

Наведені підрахунки показують, що три надходження по 100грош. од. щороку протягом трьох років тепер коштують лише 272,32грош. од. за дисконту 5% при звичайній ренті, або 285,94 грош.од. за цієї ж ставки процента при вексельній ренті. Ці приклади демонструють суть дисконтування.

Різниці між сумами є різницями у вартості грошей за часом, або загальний дисконт.

300 грош. од. – 272,32 грош. од. = 27,68 грош. од.,

300 грош. од. – 285,94 грош. од. = 14,06 грош. од.

За одноразового отримання 300 грош. од. від грошей, вкладених на три роки, вигода складе:

300 – 259,14 = 40,86 грош. од.

Тобто ефект від вкладання одночасно набагато більший, але й ризик з часом зростає, адже ці гроші «лежать» на депозитному рахунку всі три роки. Таким чином, доцільно вибрати варіант вкладання грошей, який буде не тільки привабливішим з точки зору розрахунків, а й враховуватиме суб'єктивні фактори: загальну ризикованість операції; репутацію банку, що відкриває депозитний рахунок; можливості швидкого та ефективного реінвестування отриманих грошей тощо.

Приклад 6. Визначити номінальну майбутню вартість вкладу з урахуванням фактора інфляції, якщо сума вкладу Р V = 1000грош.од

Річна процентна ставка, що використовується для прирощення вартості вкладу (і)=20%.

Прогнозований річний темп інфляції (ТІ)= 12%, період розміщення вкладу (п) – три роки.

Рішення

Для оцінки майбутньої вартості грошей використовуємо формулу:

FV =РV×[ (1+і) × (1+ТІ)] ^п

Майбутня вигода з врахуванням фактора інфляції складе:

FV = 1000×[ (1+0,2) × (1+0,12)] ³= 2428 грош.од.

Приклад 7. Підприємець може вибрати кілька варіантів інвестування 100 грош. од. під 12 % річних: з нарахуванням складного процента один раз на рік, один раз на півроку, один раз у квартал та один раз на місяць.

Який варіант він вибере?

Рішення

Очевидно, що вигіднішим для підприємця буде частіше нарахування процентів. Зробимо необхідні розрахунки.

Коли річна ставка процента дорівнює 12%, то піврічна - 6%, квартальна - 3%, помісячна - 1%.

Отже, для визначення річного процента для інвестицій, за якими виплачується 12% річних з вирахуванням складного процента за півріччя, відшукаємо в фінансовій таблиці „Майбутньої вартості грошової одиниці” 6%, але візьмемо два періоди часу. Відповідно, якщо складний процент нараховується щоквартально, його можна підрахувати, використовуючи 3 % та чотири часові періоди.

Якщо т-кількість разів нараховується складний процент протягом одного року, тоді майбутня вартість FV депозиту РV за ставки процента і після п років становитиме:

FV = РV (1+і/ т) ^пт

FV ₁= 100 х (1+0,12)¹= 100 х 1,1200=112 грош. од.

112 - 100 =12грош.од.

FV ₁₁ = 100 х (1 + 0,06)² = 100 х 1,1236 =112,36 грош. од.

112,36 - 100 = 12,36 грош. од.

FV ₁₁₁ = 100 х (1 + 0,03)⁴ = 100 х 1,1255 = 112,55 грош. од.

112,55 -100= 12,55 грош. од.

FV _1У = 100 х (1 +0,01)¹² = 100 х 1,1268=112,68 грош. од.

112,68 - 100 = 12,68 грош. од.

Сподівання підприємця підтверджуються розрахунками.

Альтернативне вкладення грошей.

Приклад 8. Розглянемо потік 1000 грош.од., що генерується якою-небудь інвестицією протягом 3 років. Розрахункова норма прибутковості інвестування коштів підприємства складає 10 %.

Питання 1. Яка сучасна вартість цього потоку?

Питання 2. Яка майбутня вартість потоку на кінець 3 роки (тобто, якби ми вклали гроші в банк під 10% річних)?

Питання 3. Яка майбутня вартість потоку коштів на кінець 3-го року?

Питання 4. Як зміниться ситуація, якщо норма прибутковості фінансового вкладення грошей стане вище, наприклад 12%.

Рішення.

1.РV = CF₁ / (1 + r)+ CF₂ /(1 + r)² + CF₃ /(1 + r) ³

РV =1000(1/1,1¹+1/1,1²+1/1,1³) =2486.85грош.од.

2. FV = РV (1 + r) ³ = 2486.85 ×1,1³=3310 грош.од.

3.FV _CF = CF₁(1 + r)² + CF₂/(1 + r) + CF₃

FV _CF = 1000×1,1² +1000 ×1,1+ 1000=3310 грош.од.

Ми одержали однакові відповіді на друге і третє питання. Висновок очевидний: якщо ми інвестуємо в який-небудь бізнес 2486.85 грош.од. і ця інвестиція генерує заданий потік грошей 1000грош.од., 1000грош.од., 1000грош.од., то на кінець 3-го року ми одержимо ту ж суму грошей 3310грош.од., як якби просто вклали 2486.85 грош.од. у фінансові інструменти під 10% річних.

Величина інвестиції складає 2200грош.од., а генерований потік такий, що приводить до кінця 3-го року до 3310грош.од.

Інвестування 2200 грош.од у фінансові інструменти під 10% дасть:

2200 × 1,1³ = 2928.26 грош.од.

Виходить, нам більш вигідно інвестувати в даному випадку в реальний бізнес, а не у фінансові інструменти.

4. Як і раніше ми інвестуємо 2486.85 грош.од у бізнес, і це приводить до потоку коштів 1000 щороку протягом 3-х років. Сучасне значення цього потоку зменшилося і стало менше вихідної суми інвестицій 2486.85 грош.од.

РV =1000(1/1,12¹+1/1,12²+1/1,12³) =2401.83 грош.од

Порівняємо майбутнє значення вихідної суми 2486.85 грош.од і потоку коштів, що генерує інвестування цієї суми в бізнес:

FV = 2486.25 × 1.12³ = 3493.85 грош.од;

FV _CF = 1000× 1.12² +1000×1.12+ 1000 = 3374.40 грош.од.

Висновки, які можна зробити на основі порівняння цих значень, такі:

а) інвестування суми 2486.85 грош.од у фінансові інструменти під 12% річних приведе до 3493.85 грош.од через 3 роки,

б) інвестування суми 2486.85 грош.од у бізнес, що генерує грошовий потік 1000 щороку протягом 3-х років, приведе до 3374.40 до кінця 3-го року.

Очевидно, що при нормі прибутковості 12% інвестувати в бізнес невигідно.

Даний висновок має просте економічне пояснення. Справа в тому, що інвестування грошей у фінансові інструменти починає приносити доход відразу ж, починаючи з першого року. У той же час, інвестування грошей у реальні активи дозволяє одержати першу 1000 грош.од тільки до кінця першого року, і вона приносить фінансовий доход тільки протягом двох років, що залишилися. Іншими словами, має місце запізнення термінів початку віддачі у випадку інвестування в реальні активи в порівнянні з інвестицією у фінансові інструменти. І якщо при нормі прибутковості 10 % обидва варіанти вкладення грошей рівносильні відносно кінцевої суми "зароблених" грошей, то збільшення норми прибутковості робить інвестицію у фінансові інструменти більш вигідною.

Розглянемо, наскільки вигідніше вкладати гроші у фінансові інструменти в порівнянні з реальними інвестиціями в двох тимчасових точках: момент часу "зараз" і кінець третього року.

В даний час потік коштів від реальної інвестиції складає 2401.83 грош.од при вихідній інвестиції 2486.85 грош.од. Виходить, фінансова інвестиція більш вигідна на 85 грош.од. До кінця третього року фінансова інвестиція принесе 3493.85 грош.од, а реальна інвестиція -3374.40грош.од. Різниця складає 119.45 грош.од.

Ця різниця також підлягає концепції вартості грошей у часі, тобто дисконтуючи 119.45 грош.од при 12 %, ми закономірно одержимо 15 грош.од.

Приклад 9. Підприємство володіє 160000 грош.од і хоче вкласти їх у власне виробництво, одержуючи протягом чотирьох наступного років щорічно 50000 грош.од. У той же час підприємство може купити на цю суму акції однієї солідної корпорації, що приносять 12% річних. Який варіант Ви рекомендуєте як більш прийнятний, коли більш вигідної пропозиції щодо вкладення грошей (чим під 12 % річних) підприємство не має?

Рішення

Для відповіді на питання можна скористатися двома способами. Порівняємо майбутнє нарощене значення ануїтету 50000 грош.од. при процентній ставці 12 % з майбутнім значенням альтернативного вкладення всієї суми 160000 грош.од..при тій же процентній ставці:

- майбутнє значення ануїтету

FV = CF ( 1 + r)^{к- 1} = 50000 ( 1+0,12 )^{к- 1} = 50000×4,7793 =238965 грош.од.

- майбутнє значення 160000 грош.од.:

FVп =PV×( 1 + r)^п = 160000 (1 + 0.1 2)⁴ = 160000 1,5735 = 251760 грош.од.

Результати розрахунків говорять про те, що придбати акції більш вигідно чим вкладення цієї ж суми грошей у власне виробництво.

Можливий інший підхід до рішення прикладів у яких використовується приведення грошових потоків до поточного часу. Цей підхід більш розповсюджений у практиці, оскільки він простіше. У даному випадку ми просто визначаємо дійсне значення ануїтету 50000 грош.од. при показнику дисконтування 12%:

РV = CF 1 /( 1 + r)^к = 50000 1/(1+0,12) ^к = 50000×3,0373 =151865 грош.од.

Порівнюючи отримане значення із сумою наявних на дійсний час коштів 160000 грош.од., приходимо до такого ж висновку: вкладати гроші в акції солідної компанії більш вигідно.

Можна помітити, що чисельне значення розходження альтернативних варіантів вкладення в поточний час

160000 - 151865 = 8135 грош.од.

істотно менше чисельного розходження через чотири роки:

251760 - 238965 = 12795 грош.од.

Це закономірно через феномен вартості грошей у часі: якщо ми дисконтуємо 12795грош.од. на чотири роки за дисконтом 12%, то одержимо 8131грош.од. Відсутність абсолютного збігу зумовлена похибкою розрахунків, пов'язаної з округленням сум до цілих значень.

Завдання для самостійної роботи

Приклад 10. Ви збираєтеся накопичити 50000 грош.од. протягом року за допомогою банківського депозиту, що пропонує щомісячне нарахування простих відсотків по місячній процентній ставці 1,5%. Яку суму необхідно покласти на депозит?

Приклад 11. Визначити відсотки, множник нарощення і суму накопиченого боргу, якщо позичка складає 35 тис.грн., термін боргу – 8 місяців, річна номінальна ставка -18%.

Питання до теми:

1. Сформулюйте основний принцип вартості грошей у часі.

2. Що розуміється під нарощенням і дисконтуванням грошей?

3. Як змінюється майбутня вартість грошей при збільшенні тривалості інвестування?

4. Яка вартість грошей є реальною: сучасна чи майбутня?

5. Як варто коректувати очікувані грошові потоки в зв'язку з інфляцією?

6. Коли процес інвестування стає невигідним?

7. Який грошовий потік називається ануїтетом?

8. Як визначити поточне і майбутнє значення ануїтету?

9. Що таке нескінченний ануїтет і яке його сучасне застосування?

10. Як побудовані і навіщо використовуються фінансові таблиці?

11. Як вигідніше вкладати гроші: водночас чи рівним частками через рівні проміжки часу?

Дата добавления: 2014-12-29