ВВЕДЕНИЕ. Численные методы находят применение всюду, где рассматриваются явления и процессы, подчиняющиеся количественным оценкам

Численные методы находят применение всюду, где рассматриваются явления и процессы, подчиняющиеся количественным оценкам. Эти явления и процессы возникают в различных сферах и областях, например, в физике, технике, экономике, механике, астрономии, биологии, медицине и т.д.

Известно, что не всякая задача имеет аналитическое решение. Кроме того, достаточно часто аналитическое решение поставленной задачи очень сложно получить. В этом случае задачи приходится решать с помощью вычислительных алгоритмов и численных методов.

В разработке численных методов принимали участие такие известные ученые как Эйлер, Лагранж, Ньютон, Чебышев, Лобачевский. Но особенно бурно методы вычислительной математики начали развиваться в связи с появлением электронных вычислительных машин (ЭВМ). Поэтому изучение вычислительных алгоритмов должно осуществляться с учетом специфики ЭВМ:

а) ограниченное быстродействие;

б) ограниченный размер разрядной сетки, используемой для хранения чисел;

в) ограниченный объем памяти.

Кроме того, к математической задаче должны быть предъявлены следующие требования:

а) устойчивость (малые изменения исходные данных должны приводить к малым изменениям результата);

б) корректность (задача называется корректной, если для любых значений исходных данных из некоторого заданного класса, ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным).

Отметим, что численные методы в некоторых случаях разработаны и для решения некорректных задач. Здесь существенный вклад внес академик А.Н.Тихонов.

Основные требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам, заключаются в том, что алгоритм должен быть:

1) реализуемым, т.е. давать решение задачи за допустимое машинное время;

2) экономичным по времени счета, т.е. среди эквивалентных по точности алгоритмов он дает решение за минимальное время счета;

3) экономичным по объему используемой памяти ЭВМ;

4) сходящимся, т.е. при неограниченном увеличении числа итераций или числа решаемых уравнений решение должно стремиться к решению исходной задачи;

5) вычислительно устойчивым - это свойство характеризует скорость накопления суммарной погрешности за счет влияния погрешности округления, обусловленной приближенным представлением чисел в ЭВМ.

По курсу «Численные методы» имеется достаточно обширная литература [1-12], в которой отражен широкий круг задач вычислительной математики.

В настоящем учебном пособии рассматриваются следующие разделы:

- основы теория погрешности;

- аппроксимация функций;

- численное дифференцирование;

- численное интегрирование.

В рассматриваемых разделах учебного пособия приведены контрольные вопросы и задания, которые выполняются студентами в дисплейном классе с использованием пакетов прикладных программ Mathcad [13] и Matlab [14], а в приложении даны варианты исходных данных к заданиям.

Предполагается, что студенты, приступающие к изучению курса «Численные методы», знакомы с такими разделами высшей математики как дифференциальное и интегральное исчисление, линейная алгебра, а также владеют навыками работы с компьютером в объеме курса «Информатика».

Разделы 1, 3 и п.п.2.1-2.12, 2.15, 2.13.5, 4.8 написаны Смагиным В.И., раздел 4 и п.п. 2.13.1-2.13.4, 2.14 − Решетниковой Г.Н. Раздел 5 и п.п. 2.16, 2.17 написаны совместно.

Дата добавления: 2014-12-29