Погрешность вычисления функции многих переменных

Классификация погрешностей

Существуют три основных типа погрешностей.

1. Неустранимая погрешность – это погрешность, обусловленная неточностью исходных данных и несоответствием математической модели реальному процессу.

2. Погрешность метода – возникает при замене исходной математической задачи на аппроксимирующую задачу. Необходимость такой замены обусловлена тем, что часто исходную задачу точно невозможно решить из-за ограниченного быстродействия ЭВМ, а также из-за ограниченности памяти.

3. Погрешность округления обусловлена ограниченной разрядной сеткой, используемой при представлении чисел в ЭВМ. Округление данных производится также при их вводе в ЭВМ, при выполнении арифметических операций и при выводе данных.

Рассматривается также полная погрешность , которая обусловлена всеми перечисленными выше факторами. На практике же, полную погрешность оценивают как сумму неустранимой погрешности и погрешности метода

.

Для вычислительно устойчивых алгоритмов влиянием погрешности округления обычно пренебрегают.

При решении задач нет смысла применять численный метод с погрешностью метода, существенно меньшей, чем значение неустранимой погрешности. Это означает, что погрешность метода должна быть согласована с неустранимой погрешностью.

Пусть требуется вычислить значение функции многих переменных

. (1.2)

Будем предполагать, что нам известны приближенные значения аргументов функции , которые заданы с погрешностями . Необходимо определить абсолютную погрешность . Дополнительно будем предполагать, что:

1) погрешности малы;

2) частные производные существуют и являются непрерывными плавно изменяющимися функциями.

Разлагая функцию в ряд Тейлора нулевой степени, оценим ошибку

.

В результате получим

,

где , – некоторое заранее неизвестное число, принадлежащее интервалу [0 1] (). Заметим, что здесь представляет собой остаточный член многочлена Тейлора.

В силу сделанных предположений, будет приблизительно ограничен сверху величиной

,

которая и будет абсолютной погрешностью величины , т.е.

. (1.3)

Разделив левую и правую части равенства (1.3) на оценим относительную погрешность функции

. (1.4)

Величины

называются чувствительностями. Они определяют степень влияния погрешности -го аргумента на погрешность результата.

Пример 1.2. Рассмотрим задачу вычисления функции

.

Чувствительность для этой функции определится по формуле

.

Если значение находится вблизи 1, то чувствительность будет высокой, а значит исходная задача неустойчива (малые отклонения исходных данных приводят к большим отклонениям результата).

Дата добавления: 2014-12-29