Передмова

Ця книга з’явилась як підсумок майже десятирічного викладання автором факультативного курсу «Комп’ютерне моделювання» учням старшої школи. Інтерес і позитивне відношення, проявлені старшо­класниками до вивчення курсу, привели до думки про те, що знайомство з комп’ютерним моделюванням може виявитися цікавою і доволі корисною роботою і багатьом іншим школярам.

Моделювання вже давно стало потужним інструментом наукового пізнання, воно вимагає об’єднання знань з різних наукових дисциплін, і, таким чином, сприяє формуванню світогляду школярів з позицій єдиного – модельного – підходу до вивчення різних явищ навколишнього світу. Про значення модельних представлень в науці видатний фізик ХХ ст. Макс Борн говорив: «Усі видатні експериментальні відкриття зобов’язані інтуїції тих людей, які широко використовували моделі. Ці моделі, проте, не були просто результатом їхньої фантазії, вони були відображенням реальних речей. Як взагалі може працювати експериментатор, як може він спілкуватися зі своїми
колегами і сучасниками, якщо він не використовує моделі?»

Сьогодні моделювання виконує ще одну важливу функцію –
гуманістичну, воно дозволяє прогнозувати негативні наслідки людської діяльності, сприяє попередженню небажаних і небезпечних явищ аж до глобальних екологічних катастроф, серед яких, передусім, загроза незворотної зміни клімату планети або жахливих наслідків ядерної війни, і зокрема – «ядерної зими». Внаслідок цих і подібних до них причин комп’ютерне моделювання виявляється здатним впливати на формування змісту і стилю політичного мислення в сучасному світі. Воно є частиною науково-дослідної роботи і належить до тих видів інтелектуальної діяльності, які можна засвоїти шляхом вивчення спеціальної літератури і на основі аналізу чужого і власного досвіду такої діяльності. І чим раніше цей досвід почне набуватися, тим більш високою може стати кваліфікація майбутнього дослідника. Адже дослідниками не народжуються – ними стають.

Комп’ютерне моделювання займає провідне місце в практичному застосуванні засобів електронно-обчислювальної техніки, так що, говорячи про різноманітні практичні застосування комп’ютерів, ми неминуче приходимо до необхідності ознайомлення з моделюванням школярів.

Основними задачами пропонованого курсу є:

­ ознайомлення з найбільш поширеними підходами до створення і дослідження комп’ютерних моделей;

­ вивчення простих методів такої роботи;

­ формування культури дослідницької діяльності з використанням засобів електронно-обчислювальної техніки.

Навчальний матеріал включає широкий спектр задач з різних предметних областей і передбачає вивчення початкових відомостей про моделі і про технологію моделювання:

­ на конкретних прикладах розглядається весь цикл моделювання: постановка задачі та її змістовий аналіз → формалізація і
побудова математичної моделі → побудова комп’ютерної моделі → складання алгоритму → обчислювальний експеримент (включаючи перевірку моделі на адекватність) → інтерпретація результатів → подальше вдосконалення моделі;

­ враховуючи природу досліджуваних явищ, виділяються детерміновані й стохастичні моделі і розглядаються особливості роботи з моделями кожного виду;

­ обговорюються такі специфічні питання моделювання, як
вибір відповідного типу моделі і відповідного середовища для моделювання, дискретизація процесів, що підлягають моделюванню,
використання чисельних методів, походження помилок округлення і способи їх зменшення, формуються початкові відомості про стійкість моделі і деякі прості прийоми її забезпечення;

­ реалізуються елементи системного підходу завдяки можли­вості створювати різні моделі для вивчення одного і того ж об’єкту і використання однакових моделей для дослідження різних об’єктів.

Спрощений спочатку опис виучуваного явища, надалі поглиблюється: майже кожна модель має не менше трьох версій.

Поступово накопичується понятійний апарат, і одночасно триває освоєння нових методів роботи, проте кількість спеціальних понять і термінів зведена до мінімуму. Матеріал посібника підпорядкований ідеї адекватного використання комп’ютера при розв’язанні наукових і прикладних задач.

Обчислювальний експеримент з математичною моделлю усуває багато утруднень, що виникають при аналітичному розв’язуванні ряду складних задач. Це робить такі задачі цілком доступними для старшокласників, що, у свою чергу, створює реальні передумови для розширення змістової частини різних учбових предметів, оскільки з’являється можливість включати в них нові цікаві дослідницькі
задачі. Ми постійно звертаємо увагу учнів на той приваблюючий факт, що вдало створена модель здатна допомогти дослідникові отримати нові або додаткові відомості про об’єкт вивчення.

Практична робота з комп’ютерними моделями передбачає вирішення проблеми вибору середовища для моделювання. Спочатку цілком придатним середовищем виявляються електронні таблиці, вивчення яких передбачається чинною програмою шкільного курсу інформатики. Проте при усій їх простоті й наочності електронні таблиці ефективні тільки для відносно простих і (або) спеціально підібраних задач. Тим не менш, основні уявлення про особливості технології комп’ютерного моделювання вони дозволяють отримати.
Загалом при вивченні моделювання не можна обмежуватися яким-небудь одним середовищем. У міру оволодіння знаннями з інформатики раціональним є перехід від одного середовища до іншого,
досконалішого або більш пристосованого до деякої конкретної задачі. Застосування ж електронних таблиць дозволяє почати систематичне вивчення комп’ютерного моделювання значно раніше, ніж
вивчення мов програмування.

Посібник складається з 12 глав-етюдів, розміщених у п’яти розділах і ніяк не пов’язаних сюжетно.

У першому розділі (Глави 1, 2) формуються і надалі уточнюються загальні уявлення про моделі і моделювання; наводиться приклад однієї з можливих класифікацій моделей. Особлива увага тут приді­лена математичним комп’ютерним моделям, які складають основний зміст курсу. Два представлених тут приклади ілюструють можливості комп’ютера як ефективного обчислювального пристрою і зручного інструменту для побудови графіків математичних залежностей.

Другий розділ (Глава 3) знайомить з технологією створення
моделі і подальшою роботою з нею. Сюжетна основа найпершої
моделі в загальних рисах добре зрозуміла і не потребує спеціальних знань. Це, на перший погляд, проста, але насправді зовсім не тривіальна, а насправді багатоаспектна задача про поширення чуток. Перші результати роботи зі спрощеною версією цієї моделі виявляють її майже повну якісну невідповідність фактам, відомим із життєвих спостережень. У наступних версіях моделі виконується поступове ускладнення моделі шляхом уведення до її сюжету нових суттєвих чинників. В результаті таких дій модель стає все більш адекватною, а результати її дослідження – більш достовірними. При цьому ми
дотримуємося принципу відповідності, за яким кожна наступна вдосконалена версія має містити в собі попередню як окремий випадок.

Третій розділ (Глави 4 – 6) присвячений розгляду декількох класичних задач математичної екології. В главі 4 розглянуті чотири версії моделі одновидової популяції. Спочатку досліджується проста модель динаміки популяції за відсутності обмежень (модель Мальтуса) і, як її розвиток, – модель популяції з обмеженнями, які пов’язані з конкуренцією за ресурси середовища мешкання (модель Ферхюльста). Її логічними продовженнями виявляються дві моделі промислового використання популяції. Перша з них будується на основі жорсткого плану видалення біомаси, і це призводить до появи нестійкої рівноваги чисельності і до небезпеки невідворотної загибелі популя­ції. У другій моделі реалізується гнучке («автоматичне») регулювання (саморегулювання) на основі негативного зворотного зв’язку, який надійно забезпечує стійкі рівноважні стани. Інтерпретація цих
результатів за двома останніми версіями виявляється корисною
також і з точки зору формування екологічної культури.

У двох наступних главах відповідно розглянуті модель співісну­вання популяцій двох видів на основі стосунків «хижак – жертва» (модель Вольтéрри – Лотки) і вікова модель одновидової популяції (дискретна матрична модель П. Леслі). Порівняння результатів моделювання за моделями Мальтуса і Леслі показує їхню якісну схожість. Так само якісно схожими виявляються результати за детермінованою моделлю «хижак-жертва» і спеціально розробленою нами однойменною демонстраційною стохастичною моделлю. Так що різні моделі одних і тих самих об’єктів здатні ефективно доповнювати одна одну.

Задачі, що пропонуються в четвертому розділі посібника (глави 7-10), на відміну від попередніх, вимагають спеціальних знань з курсу фізики. Для дослідження тут пропонуються приклади механічних рухів тіл під дією змінних сил, а саме таких, що залежать від координат (сила пружності і сила всесвітнього тяжіння) і від швидкості
(сила опору й аеродинамічна сила). Головна особливість, яка відрізняє ці задачі від більшості шкільних задач з механіки, полягає в
тому, що під дією змінних сил тіла набувають змінних прискорень. Таким чином, точний розрахунок їх координат у довільний момент часу методами елементарної математики стає неможливим, і у природний спосіб виникають передумови для ознайомлення з простими чисельними методами.

Перший в цій главі об’єкт дослідження – коливальний рух тіла на пружині з урахуванням опору (Глава 7). Тестування і налагодження моделі проводиться для випадку дії на тіло однієї тільки сили пружності, оскільки закономірності такого руху добре відомі зі шкільного курсу фізики. Основний інтерес тут являє обговорення питання про нагромадження похибок обчислень і підвищення точності
обчислень шляхом поліпшення алгоритму. Врахування сил опору дає картини загасаючих коливань, які помітно відрізняються при переході від в’язкого тертя до тертя сухого.

Наступний об’єкт – рух тіла в полі тяжіння (Глава 8). Тут пропонуються п’ять задач:

1) рух штучного супутника навколо планети або рух планети
навколо Сонця;

2) рух природного супутника планети, а також компонентів у системах «Подвійна зірка», де виникає потреба в переході до системи відліку, пов’язаної зі спільним центром мас;

3) кількісна перевірка законів руху планет (законів Й. Кеплера);

4) дослідження особливостей руху тіла-супутника при переході до довільного дійсного показника степеня k в математичному записі закону всесвітнього тяжіння у вигляді F = Gm ₁ m ₂/ r^k (k ≠ 2);

5) вивчення питання про вигляд планетних орбіт при переході від геліоцентричної системи відліку до геоцентричної.

У Главі 9 розглядається задача про політ паперового літачка під дією сили тяжіння і аеродинамічної сили, яка проявляє себе через дві свої складові: силу лобового опору і підіймальну силу. Оскільки
кожна з цих сил згідно з теоремою М.Є. Жуковського пропорційна квадрату швидкості, то, окрім питання про вигляд траєкторії руху, предметом спеціального обговорення тут є пошук числових значень відповідних коефіцієнтів пропорціональності для теореми Жуковського (коефіцієнтів моделі).

Четвертий розділ завершує розробка задачі-гри про м’яку посадку на Місяць (Глава 10) з елементами оптимізації режиму посадки і створенням зручного інтерфейсу користувача.

Глави 11, 12 присвячені вивченню стохастичних моделей на
основі методу випадкової вибірки (методу Монте-Карло). Тут розглядаються модель броунівського руху і задача на дослідження операцій. Побудова першої моделі вводить у світ випадкових чисел і
математичної статистики, сприяє формуванню уявлень про розподіли ймовірності, зокрема, ілюструє два поширені розподіли: рівномірний і нормальний. Дослідження другої моделі показує, що в деяких ситуаціях вдається помітно зменшити кількість і вартість ремонтів технічного устаткування виключно за рахунок вибору оптимальної організації обслуговування. До того ж з’являється можливість зрозуміти, як за допомогою рівномірно розподілених випадкових чисел і за
відомим експериментальним законом розподілу відносних частот відмов устаткування стає можливим моделювання реальних випадкових подій і, таким чином, оцінити ефективність методу Монте-Карло. Не менш важливим тут є і висновок про те, що дослідження подібних моделей часто дозволяє відокремити потенціально продуктивні рішення від хибних.

Оскільки пропонований курс є факультативним, робота з цим посібником не передбачає обов’язкового розгляду всіх без виключення наведених прикладів. З цієї ж причини в ряді завдань наводяться схожі міркування, а учитель може вибирати навчальний матеріал на власний розсуд.

Підготовкою матеріалів цього посібника (обговоренням, зауваженнями, плідними порадами й рекомендаціями) автор зобов’язаний професору Дніпропетровського національного університету ім. О. Гончара Ю. Д. Шептуну, професорам національного педагогічного університету ім. М. П. Драгоманова М. І. Жалдаку і Ю. С. Рамсь­кому, професорам Черкаського національного університету ім. Б. Хмельницького В. М. Соловйову і Ю. В. Триусу, професорам Харківського національного педагогічного університету ім. Г. Сковороди Л. І. Білоусовій і С. А. Ракову. За постійну допомогу, оптимізм і дружню підтримку автор щиро вдячний професорові С. О. Семері­кову.

Проте відповідальність за допущені помилки й неточності в
поданні навчального матеріалу і за загальний науковий та методичний рівень посібника автор повністю покладає на себе.

Критичні зауваження будуть прийняті із вдячністю за адресою: Україна, 50086, м. Кривий Ріг, проспект Гагаріна, 54, Криворізький педагогічний інститут ДВНЗ «Криворізький національний універси­тет», кафедра інформатики і прикладної математики.

Етюд – (франц. etude – буквально – вивчення)

Назва деяких творів, що є результатом якого-небудь дослідження.

Великий словник іноземних слів

Видавництво «ИДДК», 2007.

Невеликий за обсягом науковий, критичний тощо твір, присвячений окремому питанню.

Тлумачний словник іноземних слів Л. П. Крисіна.

М: Російська мова, 1998.

Вправа, що служить для розвитку і вдосконалення техніки
деякого мистецтва: акторського, шахового, музичного тощо зазвичай імпровізаційного характеру.

Т. Ф. Єфремова

Вправа, що служить для розвитку і вдосконалення техніки
деякого мистецтва, зокрема, мистецтва моделювання.

Автор

Дата добавления: 2015-01-03