Алгоритм роботи з моделлю

Створення моделі: математична модель

Увесь час «спостереження» розіб’ємо на досить малі однакові проміжки (інтервали) Δ t (малі в порівнянні з тривалістю епідемії).

Переходячи до формалізації, введемо позначення:

і – порядковий номер проміжку Δ t;

М_і, N_і – відповідно кількість хворих і здорових людей у довільний проміжок часу з номером і.

На початку спостереження і = 0, отже M_і = M ₀, N_і = N ₀.

Згідно з Припущенням 1 у довільний момент часу

M_і + N_і = M ₀ + N ₀. (1)

Замітимо тут, що М_і і N_і – величини змінні, з часом вони монотонно змінюються в протилежних напрямах: у міру зростання М_і відбувається спадання N_і.

Припущення 5. Приріст чисельності хворих Δ M_і пропорційний тривалості проміжку часу Δ t і кількості зустрічей здорових людей з хворими за цей проміжок.

Припущення 6. Кількість зустрічей пропорційна як кількості хворих (M_і), так і кількості здорових (N_і) людей, на початок і -го проміжку Δ t. У такому разі кількість зустрічей пропорційна добутку M_і і N_і.

На основі Припущень 5 і 6 можна записати:

Δ M = k M_і N_і Δ t, (2)

де 0 < k < 1 – коефіцієнт пропорціональності, який назвемо коефіцієнтом зараження. Цей коефіцієнт має статистичний смисл і враховує, в першу чергу, такі чинники, як ймовірність зустрічей і сприйнятливість до хвороби деякої окремої людини. Відмітимо, що різні індивіди в групі можуть проявляти різну сприйнятливість до хвороби, внаслідок чого в міру протікання епідемії спочатку захворюватимуть найбільш сприйнятливі, а в кінці залишатимуться найстійкіші. Одночасно зменшуватиметься ймовірність зустрічей. Це означає, що числове значення k можна брати сталим.

Припущення 7. Нехай коефіцієнт зараження k є незмінним у часі.

З (1) маємо:

N_і = M ₀ + N ₀ – M_і (3)

і після підстановки (3) в (2) остаточно отримуємо:

Δ M_і = kM_{і- 1}(M ₀ + N ₀ – M _{і- 1})Δ t. (4)

Знайдемо нову кількість хворих М_і, додаючи до її попереднього значення М_{і – 1} щойно обчислений приріст Δ M:

М_і = М_{і – 1} + Δ M_і . (5)

Рівняння (4) і (5) є спрощеною математичною моделлю епідемії.

Якщо вони будуть розв’язані відносно M_і, то ми зможемо прогнозувати хід епідемії.

Про рівняння (4) говорять, що воно записане у формі кінцевих різниць. У шкільній математиці не вивчаються аналітичні методи розв’язування рівнянь такого виду. Тому для досягнення кінцевої мети виконаємо це розв’язування чисельним методом в середовищі електронних таблиць. Будемо виводити на екран результати у вигляді таблиць і відповідних графічних залежностей змінних Δ M_і, M_і і N_і від часу.

Зауваження. Відповідно до смислу змінних M_і, N_і, і Δ M_і їх значення доцільно представити у форматі цілих чисел. Нагадаємо, що в пам’яті комп’ютера і в арифметичних операціях вони матимуть формат дійсних

1. Створити таблицю, в стовпцях А, В, С, D якої в першому
рядку помістити імена змінних: t, Δ M, M, N. Значення цих змінних заноситимуться в наступні рядки, починаючи з другого.

2. У стовпці Е («Дано:») помістити імена констант: N ₀, M ₀, k, Δ t зі знаками «=», а в стовпці F – їхні значення:

– t = 0;

– Δ M = 0 (приросту чисельності ще немає);

– M і N посиланнями на відповідні комірки стовпця F зі значеннями M ₀ і N ₀.

3. Заповнити наступний (третій) рядок (і = 1) формулами для
обчислення чергових значень змінних:

- t_і = t_{і – 1} Δ t;

- Δ M згідно (4): Δ M_і = kM _і-1(M ₀ N ₀ – M_{і -1}) Δ t;

- M відповідно до(5): М_і = М_{і -1} Δ M_і;

- N за виразом (3): N_і = M ₀ + N ₀ – M_і.

Повторювати п = 20 разів п. 4. (на один екран). З цією метою
копіювати формули третього рядка в наступні 19 рядків.

4. Стосовно критерію вибору нижньої межі значень проміжку Δ t замітимо таке. Якщо подальше зменшення Δ t не призводить до помітних змін результатів, то можна залишити його значення попереднім. Проте занадто мале значення Δ t призведе до значного збільшення кількості повторень. Це, у свою чергу, зажадає збільшення обсягу оперативної пам’яті й відповідно збільшить час опрацювання даних. Останнє зауваження має загальний характер, хоча в даному конкретному випадку (за малої кількості стовпців і рядків) згадане збільшення часу не буде помітним.

Примітка. Методами вищої математики можна отримати точне аналітичне рішення рівняння (4) у вигляді складної функції часу, але зараз важливим є інше. Адже відповідь в моделюванні, як відомо, не зводиться просто до числа або формули. Бажано отримати таблицю значень шуканої величини для різних моментів часу і за цією таблицею побудувати графіки відповідних залежностей. Аналіз інформації, поданої у графічній формі, часто ефективніший, ніж аналітичний аналіз формул. Це зовсім не означає, що аналітичне дослідження в комп’ютерному моделюванні не є доцільним.

Дата добавления: 2015-01-03