Решение задач контрольной работы Б

Контрольная работа 2

В курсе 4 класса (как обычно) запланировано две контрольные работы. Материалы к этим работам находятся в тетради проектов (контрольные работы А и Б, варианты 1 и 2). При дефиците времени можно провести одну контрольную работу за весь год (контрольная работа В, варианты 1 и 2).

Задача 1. Задача на проверку умения достраивать дерево вычисления и сопоставлять ему арифметическое выражение.

Ответ:

Вариант 1. 6 + 16: 4 — 9 + 20: 5 × 6 = 25

Вариант 2. 6 + 25: 5 — 8 + 30: 6 × 5 = 28

Вопрос о том, следует ли снижать оценку, в случае если учащийся записал пример с одной (или более) парой лишних скобок (т. е. скобок, не меняющих порядка действий), мы оставляем на ваше усмотрение. Решение этого вопроса зависит от уровня класса и от особенностей изучения программы по математике.

Задача 2. Задача на проверку умения строить цепочку выполнения программы. Важно, чтобы в каждой позиции цепочки положение Робика было помечено жирной точкой.

Ответ:

Вариант 1

Вариант 2

Задача 3. Порядок вершин второго уровня жёстко определяется числом вершин, следующих после каждой из них (после одной — две, после другой — три), поэтому позиции второго уровня нельзя рисовать на полях в произвольном порядке. Вершины третьего уровня, имеющие общую предыдущую, могут стоять в любом порядке, поэтому деревья учащихся могут несколько различаться по виду.

Ответ:

Вариант 1

Вариант 2

Задача 4. Задача на проверку умения строить дерево всех вариантов и использовать это дерево для построения всех цепочек, составленных из элементов данного мешка.

Ответ:

Вариант 1

Вариант 2

Задача 5. Задача на шифрование и расшифровку. В данном случае шифр известен полностью, поэтому от детей требуется только внимание и строгое следование алгоритму. Задание считается выполненным верно только в том случае, если правильно выполнено и шифрование, и расшифровка. Если есть ошибка хотя бы в одном символе, задание считается выполненным неверно.

Ответ:

Вариант 1. БЛЭГЛЯЗМИЙ, ЭЛЕКТРИЧЕСТВО.

Вариант 2. СТЛЯФЗДФЮЙДЭ, ЭЛЕКТРОВОЗ.

Задача 6. Необязательная. Принцип раскраски в этой задаче тот же, что и в игре «король» (подробнее см. в комментариях к задачам 184, 185).

Урок «Выравнивание, решение необязательных и трудных задач»

Как обычно на уроках выравнивания, лучше для каждого учащегося сформировать на этом уроке свой набор задач, который будет отвечать зоне его ближайшего развития. При бескомпьютерном варианте изучения курса задачи берутся из числа задач 177—193, а при компьютерном варианте — из числа задач 166—193.

Решение задач 177—193 из учебника

Задача 177. Необязательная. Первое задание (на расстановку скобок) предназначено в основном для сильных учащихся, поскольку, не подсказывая решения, подтолкнуть застопорившегося учащегося в таких задачах довольно сложно. Единственный совет, который вы можете дать, — действовать методом проб и ошибок, т. е. сначала посчитать значение примера как есть (без скобок), затем поставить как-нибудь одну пару скобок и вычислить значение нового выражения; если не получится, то поставить скобки в другом месте. Можно попробовать поставить две пары скобок и т. д. Сложность этого метода в том, что осуществить полный перебор вариантов постановки скобок ребятам не удастся (пока это для них слишком трудно), и они могут надеяться лишь на удачу. Чтобы учащийся не возвращался несколько раз к одним и тем же вариантам, можно посоветовать ему выписывать все получающиеся примеры на черновике. После того как скобки будут расставлены верно, задача становится аналогичной задачам 137 и 170.

Ответ: 6 × 8 + 20: (4 — 2) = 58.

Задача 178. Необязательная. Задача, достаточно привычная для ребят, главная её сложность состоит в том, что дано много фигурок. Кроме работы с телесными объектами (фигурками с листа вырезания), здесь может помочь соединение окончательного решения из частичных решений. Этот метод, упоминавшийся ранее, состоит в том, чтобы собрать хотя бы одну (короткую) цепочку, для которой истинны все три утверждения. Таким образом у нас появляется цепочка из четырёх фигурок: Скрипка — Платье — Сумка — Башмак. Далее замечаем, что Платья всего два. Для соединения оставшихся фигурок нам нужно другое частичное решение вида: Скрипка — … — Сумка — Башмак, где на месте многоточия может стоять Майка или Башмак (но не Сумка и не Скрипка).

Далее из этих кусочков пытаемся составить цепочку целиком. При этом остаются четыре лишние фигурки, из них две Сумки. Теперь главное — соблюсти истинность первого утверждения. Для этого необходимо, чтобы среди оставшихся фигурок было два Башмака.

Остаётся только соединить эти отдельные части в одну цепочку (учитывая направление каждой части).

Ещё один вариант решения — строить частичные решения последовательно для каждого утверждения. Для истинности первого утверждения нужно каждую Сумку соединить с каким-нибудь Башмаком (как и раньше, необходимо обязательно в каждом таком фрагменте указать направление цепочки). Для истинности второго утверждения соединяем каждое из двух Платьев с какой-нибудь Сумкой.

Для истинности третьего утверждения соединяем каждую Скрипку с какой-нибудь Сумкой через одну фигурку.

Теперь остаётся только соединить эти отдельные части в одну цепочку (учитывая направление каждой части).

Задача 179. Необязательная. Здесь ребята одновременно повторяют тему «Двумерная таблица для мешка» и употребление понятия «каждый» в сложных ситуациях. В ходе анализа условия ребятам станет ясно, что необходимо проверять справедливость таблицы для каждого внутреннего мешка каждого большого мешка. При этом с каждым большим мешком может возникнуть одна из двух ситуаций: либо хотя бы для одного внутреннего мешка таблица не выполняется, либо она выполняется для всех внутренних мешков. В первом случае большой мешок нам не подходит, во втором мы нашли решение.

Проверка истинности таблицы для одиннадцати мешков (в худшем случае) может занять много времени. Как же сократить процесс сопоставления таблицы и содержимого мешков? Один из способов — проверять сразу все мешки на наличие бусин определённого цвета и формы, в ходе проверки отбрасывая неподходящие мешки. Например, в мешках должны быть 2 синие бусины — круглая и треугольная. Это не выполняется для третьего внутреннего мешка мешка К (в нём 3 синие бусины). Значит, мешок К нам не подходит, его больше проверять не будем. В каждом мешке должны быть 3 красные бусины: 1 квадратная и 2 круглые. Проверяем, выясняется, что для третьего внутреннего мешка мешка М это не так, значит, мешок М нам не подходит, его больше проверять не будем. Теперь остаётся проверить две оставшиеся строки таблицы для каждого внутреннего мешка мешка Л и убедиться, что именно он удовлетворяет условию задачи.

Задача 180. Необязательная. Конечно, после выяснения, из какой клетки Робик может дважды пойти влево, задача становится совсем простой и требует аккуратного выписывания. Если кого-то из детей смутит то, что Робик дважды ходит по одним и тем же клеткам (на самом деле это часто встречалось и раньше), обсудите с ним, что именно ему не нравится. Возможно, что ему неприятна «неэкономность». Здесь уместно сказать несколько слов о сложности вычисления шагов (в данном случае Робика) и спросить, за сколько же шагов удастся покрасить нужную картинку и почему шагов не может быть меньше.

Задача 181. Необязательная. Задача предназначена в основном для сильных учащихся, поскольку при построении дерева придётся принимать во внимание сразу несколько условий. Можно сначала построить дерево, не принимая во внимание условие кратности 9, получится 18 чисел: 401, 501, 801, 541, 841, 451, 851, 481, 581, 105, 405, 805, 415, 815, 145, 845, 185, 485. Теперь осталось найти среди них числа, которые делятся на 9. Таких оказывается всего два: 801, 405. В данной задаче не предполагается, что дети знакомы с признаком делимости на 9, поскольку в этом случае вообще можно обойтись без построения дерева и провести перебор в уме. Действительно, число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9. Исходя из числа знаков и данных в задаче цифр у искомых чисел сумма цифр может быть равна только 9. Принимая во внимание, что последняя цифра чисел равна 1 или 5, сумма двух первых цифр числа равна либо 8, либо 4. Составляем из оставшихся цифр все такие пары, и их оказывается ровно две.

Задача 182. Необязательная. Поиск выигрышной стратегии в данной игре — сложная задача. Можно начать с нескольких партий в игру «стрелка». В ходе этих партий ребята знакомятся с возможными ходами и позициями игры. Как видите, позиций в этой игре всего 12, поскольку в игре никак не учитывается, сколько кругов обошла стрелка до того, как оказалась на данной цифре. Раскрашивать позиции, как всегда, начинаем с заключительной позиции 6 (она проигрышная). Далее находим все позиции, из которых можно попасть в позицию 6 за один ход (4 и 3), и раскрашиваем их как выигрышные:

Теперь следует найти позицию, из которой в результате любых ходов получаются только выигрышные позиции. Это позиция 1, она будет проигрышной. Далее раскрашиваем позиции 10 и 11 как выигрышные, а позицию 8 — как проигрышную:

Итак, мы обошли один круг, но не все позиции оказались раскрашенными. Придётся сделать ещё один круг. В проигрышную позицию 8 можно попасть из позиции 5, значит, 5 — выигрышная позиция (позиция 6 уже раскрашена, её не рассматриваем). Так двигаемся дальше, пока вся числовая линейка не будет раскрашена. Получаем следующую раскрашенную числовую линейку:

Начальная позиция 12 выигрышная, значит, выигрышная стратегия есть у Первого. Интересно выслушать ребят, в чём заключается выигрышная стратегия Первого, а ещё лучше поиграть в парах и убедиться, что, руководствуясь раскрашенной числовой линейкой, Первый действительно всегда будет выигрывать. Выигрышную стратегию Первого можно сформулировать пошагово:

Ход 1. Первый устанавливает стрелку на 2.

Ход 2. Второй устанавливает стрелку на 4 или 5.

Ход 3. Если Первый делает ход из позиции 4, то он устанавливает стрелку на 6 и выигрывает; если Первый делает ход из позиции 5, то он устанавливает стрелку на 8.

Ход 4. Второй устанавливает стрелку на 10 или 11.

Ход 5. Первый устанавливает стрелку на 1.

Ход 6. Второй устанавливает стрелку на 3 или 4.

Ход 7. Первый устанавливает стрелку на 6 и выигрывает.

Заметим, что, в отличие от большинства ранее рассмотренных игр, игра «стрелка» может длиться практически бесконечно, если игроки не стремятся к выигрышу, поэтому есть смысл анализировать её только в рамках поиска выигрышной стратегии. Дерево такой игры будет бесконечным.

Задача 183. Задача аналогична задаче 177.

Ответ: 4 × 12 + 18: (6 + 3) = 50.

Задача 184. В ходе решения этой задачи ребята знакомятся с новой игрой — «король». Хотя эта игра имеет несложные правила, всё-таки для начала нужно с ней освоиться.

Следует заранее подготовить всё необходимое для игры: поле (либо настоящую шахматную доску, либо поле с листа вырезания) и фишку (либо шахматного короля, либо пластмассовую или бумажную фишку). Если вы хотите вначале продемонстрировать 2—3 партии на доске, то проще всего это сделать, расчертив в виде шахматного поля магнитную доску и передвигая по ней любую фигурку-прижим.

После того как всё необходимое для игры будет подготовлено, каждая группа выбирает начальную позицию. Начальная позиция выбирается один раз для всех партий турнира и записывается каждым членом группы в соответствующее окно. Затем члены группы проводят круговой турнир (как всегда, для экономии времени можно проводить по две партии одновременно и потом меняться партнёрами). В ходе проведения турнира следует заполнять клетки таблицы (имена игроков по вертикали и горизонтали нужно, как обычно, внести заранее). По окончании турнира подсчитываются очки и выявляется победитель.

В условии задачи ничего не сказано о выборе очерёдности хода в каждой партии турнира. Как выяснится позднее, в зависимости от выбранной начальной позиции один из игроков имеет выигрышную стратегию. Если вы хотите, чтобы в каждой партии оба игрока имели одинаковые шансы на победу, предложите ребятам перед началом партии выяснять очерёдность хода с помощью жребия или считалки.

В задаче можно, кроме знакомства с новой игрой, провести некоторую пропедевтику к поиску выигрышной стратегии в данной игре (этому будут посвящены задачи 185 и 186). Попросите ребят при заполнении турнирной таблицы помечать в каждой партии, кто был Первым. В таком случае по окончании турнира ребята смогут сказать, кто чаще выигрывал — Первый или Второй. Это даст возможность сформулировать гипотезу о том, какой является позиция, выбранная в качестве начальной, — выигрышной или проигрышной. Лучше всю эту информацию собрать воедино на доске. При решении следующей задачи ребята смогут её проверить.

Задача 185. Гипотезы для этой задачи ребята могли получить в ходе решения задачи 184, а вот точный ответ они могут дать, только разметив все возможные позиции (все клетки поля) как выигрышные или проигрышные. Возможно, вам придётся в этой задаче помочь кому-то из ребят индивидуально или даже несколько клеток раскрасить совместными усилиями класса.

Самым актуальным здесь будет вопрос последовательности, порядка раскраски клеток. Естественно, мы начинаем с заключительной позиции — клетки a1, это проигрышная позиция. Далее следует раскрасить красным все клетки доски, из которых можно попасть в a1 за один ход (это клетки a2, b2, b1). Напомним, что по нашему определению позиция называется выигрышной, если есть хотя бы один ход, который изменяет её на проигрышную. Ясно, что клетки а2, b2 и b1 — выигрышные позиции, помечаем их красным.

Дальше встаёт вопрос о том, какие клетки и в каком порядке раскрашивать. Очевидно, нужно искать те позиции, для которых все клетки, куда возможны ходы, уже раскрашены, потому что только такие позиции мы можем оценить как выигрышные или проигрышные. Например, возьмём клетку с3. Из неё можно попасть в клетки b2, b3 и с2, но пока не все эти позиции раскрашены, поэтому и клетку с3 мы раскрасить не можем. А из позиции с1 можно сделать ход только в позицию b1 (выигрышную позицию), значит, с1 — проигрышная позиция. Аналогично выясняется, что а3 — проигрышная позиция.

Теперь уже можно раскрасить клетки с2 и b3, они обе будут выигрышными, так как в результате одного хода из них могут получиться проигрышные позиции (с1 и а3 соответственно). Клетку с3 раскрасим синим — эта позиция проигрышная, так как все ходы из неё ведут в выигрышные позиции (b3, b2 и с2).

Далее будем раскрашивать следующий «угловой слой» клеток поля, ограничивающий раскрашенные уже клетки сверху и справа, двигаясь слева направо и снизу вверх (последняя раскрашенная клетка — клетка диагонального ряда d4). Все позиции этого слоя оказываются выигрышными, поскольку для каждой существует ход в проигрышную позицию.

Так ребята раскрашивают клетки поля слоями, двигаясь снизу вверх и слева направо, пока не доходят до верхнего правого угла поля.

Заканчивается решение задачи ответами на вопросы. Это позволяет проверить, насколько осознанно дети раскрашивали клетки поля, понимают ли они, зачем это делали. В частности, дети должны понимать, что все красные клетки поля — выигрышные позиции. При таких начальных позициях выигрышную стратегию имеет Первый. Если клетка раскрашена синим, то выигрышную стратегию в игре с такой начальной позицией имеет Второй. И конечно, ответы на вопросы помогут быстро проверить решение, если у вас нет возможности проверить раскраску поля у каждого ученика в индивидуальном порядке.

Задача 186. Необязательная. Данная задача имеет целью проверить, понимают ли ребята, как следовать построенной в предыдущей задаче выигрышной стратегии при проведении реальных партий. Следовать выигрышной стратегии в данной задаче может только Первый, поэтому за Первого должен поиграть каждый учащийся. Именно Первый в начале игры должен правильно выбрать начальную позицию (клетку, помеченную на поле в задаче 185 красным) и далее делать такие ходы, после которых король всегда оказывался бы в проигрышной позиции (синие клетки поля из задачи 185). Если эти условия соблюдаются, то во всех играх турнира должен выиграть Первый, а общий счёт турнира должен быть 2:2. Если у какой-то пары получились другие результаты, обсудите снова с этими детьми задание, попросите их сыграть ещё одну партию (Первым должен быть тот учащийся, который проиграл, будучи Первым). При этом Первый должен подробно объяснять все свои действия, начиная с выбора начальной позиции.

Задача 187. Необязательная. Ещё одна задача частично из курса русского языка, в которой ребята придумывают цепочки сами (см. комментарии к задачам 153, 174). Эта задача имеет довольно много решений. Например, в качестве результата склеивания подойдут слова ПОХОДНЫЙ, ВЫХОДНОЙ, ЗАХОДЯЩАЯ, ПРОХОДНАЯ.

Задача 188. Необязательная. В этой задаче от ребёнка требуется прочитать и понять естественно-научный текст и изъять из него информацию, нужную для решения задачи.

Пронумеруем для удобства силуэты птиц.

Из второго абзаца текста узнаём, что силуэты с вытянутыми ногами (2, 3 и 8) могут быть силуэтами журавля, аиста и цапли. Аиста среди птиц нет. Цапли втягивают голову в плечи, значит, силуэт 3 — это серая цапля. Итак, журавль — это силуэт 2 или 8.

Из третьего абзаца выясняем, что у уток и гусей лапы не выдаются за пределы туловища и у них длинная шея. Под это описание подходит только силуэт 6, значит, 6 — это серый гусь (утки у нас нет).

Из третьего абзаца выясняем, что силуэт гагар кажется короткокрылым и видны сравнительно большие лапы. Лапы видны только у силуэтов 2 и 8, но короткокрылым можно назвать только силуэт 2. Итак, 2 — это чернозобая гагара. А значит, 8 — это серый журавль (до этого мы знали, что журавль — это 2 и 8).

Остались силуэты 1, 4, 5 и 7. Из пятого абзаца выясняем, что коршун и канюк имеют широкие и длинные крылья, — это силуэты 1 и 4. Коршун имеет вырезку в хвосте, значит, 4 — это чёрный коршун, а 1 — это канюк.

Остались ястреб-тетеревятник и сокол-чеглок. Из шестого абзаца неясно, какой же силуэт принадлежит ястребу-тетеревятнику, зато из седьмого абзаца совершенно ясно, что силуэт 5 — это сокол-чеглок: у него узкие заострённые на концах крылья почти серповидной формы. А значит, оставшийся силуэт 7 — это ястреб-тетеревятник (тем более что описание этого силуэта не противоречит описанию, данному в шестом абзаце).

Задача 189. Необязательная. Аналогичные задачи ребятам уже не раз встречались (см. комментарии к задачам 99, 100, 110, 136). Отличие данной задачи лишь в том, что дерево вычисления очень большое и соответственно пример будет достаточно большим. По числу цветных окон можно сосчитать, что в примере будет 16 действий. Разобраться и расставить скобки в таком примере многим ребятам окажется сложно, поэтому задача помечена как необязательная. Если вы хотите помочь запутавшемуся ребёнку, посоветуйте ему выписать для начала все листья дерева слева направо, не обращая внимания на уровни, а исходя лишь из того, между какими соседними листьями по горизонтали находится каждый лист. Получается последовательность чисел: 3, 3, 25, 5, 9, 2, 12, 36, 6, 10, 30, 5, 11, 9, 5, 40, 39, 29. В этой последовательности сначала нужно расставить знаки действий, находящихся на предпоследнем уровне. Получаем 3, 3, 25: 5, 9, 2, 36: 6, 10, 30, 5, 11 – 9, 5, 40, 39 – 29. После этого расставим знаки действий, находящихся на четвёртом уровне, и т. д., пока не дойдём до корня дерева. Получаем

3 × 3 + 25: 5 – 9 + 2 × 12 – 36: 6 + 10 + 30: 5 × 11 – 9×5 – 40: 39 – 29.

Теперь осталось расставить скобки в примере так, чтобы действия выполнялись именно в том порядке, который указывает структура дерева. Получаем

(3 × (3 + 25: 5) – 9) + (2 × (12 – 36: 6) + 10) + (30: (5 × (11 – 9))) × (5 –

– 40: (39 – 29)).

Задача 190. Необязательная. Первое задание — построение дерева перебора — в целом знакомо детям. Сложность данной задачи состоит в том, что нужно одновременно перебирать цепочки длины 2 и цепочки длины 3. Кто-то из детей догадается построить два отдельных дерева для цепочек каждой длины. Технически при таком решении работы будет больше, но зато будет меньше возможностей совершить ошибку. Тем ребятам, которые будут строить одно дерево, придётся столкнуться со следующей проблемой: у каждой корневой вершины (О, Н, К) будет шесть следующих вершин, и из них три пары одинаковых. Зачем рисовать две одинаковые следующие вершины, например О? Причина в том, что у нас в курсе одна и та же вершина не может быть одновременно листом и не листом. А в искомом дереве часть листьев должна находиться на втором уровне. Они будут соответствовать цепочкам длины 2. Поэтому за каждой корневой вершиной будет следовать три листа (О, К, Н) и три не листа (О, К, Н). У каждой вершины второго уровня, которая не является листом, будут три следующие (О, К, Н). Таким образом, на втором уровне нашего дерева будет находиться 9 листьев, а на третьем — 27 листьев. Всего, следуя условию задачи, можно построить 36 цепочек букв. Второе задание состоит в том, чтобы найти среди этих цепочек 5 слов русского языка. Если не все слова, встречающиеся среди цепочек, детям известны, можно предложить им воспользоваться словарём. Например, в качестве ответов подойдут слова ОН, ОНО, НО, КОН, ОКО.

Задача 191. Необязательная. Построение родословного дерева Петровых в данной задаче — дело увлекательное, но отнюдь не простое. Хорошо бы сначала определить, сколько поколений Петровых будет в дереве. Оказывается, четыре, так как речь идёт и о внуках родоначальника, и о внуках его сыновей. Далее очень полезно найти родоначальника. Если в семье Петровых имена не повторяются, то сделать это легко: надо найти человека, отчество которого не встречается как первая буква ничьих инициалов. Такой человек есть — М. С. Петров: среди оставшихся Петровых отца (с именем С.) мы для него не найдём, значит, он родоначальник. У него точно два сына, их следует искать по второй букве инициалов (М.). Таких оказывается действительно двое — К. М. Петров и Д. М. Петров. Затем сыновей каждого из них тоже можно найти по второй букве инициалов и т. д.

В конце необходимо проверить условие о том, что внуков у основателя рода четыре, а у его сыновей — по два.

Ответ:

Задача 192. Необязательная. Если кто-то из детей не знает, с чего начать решение этой задачи, посоветуйте ему выписать все русские названия месяцев и выделить среди них хотя бы 5 таких, которые имеют общее начало либо общий конец длиной в 3 буквы или больше. Постепенно станет понятно, что для построения решения подойдут названия месяцев, оканчивающиеся на -БРЬ.

Задача 193. Необязательная. Для решения этой задачи удобно использовать дерево. Рисуем 5 корневых вершин, а дальше выбираем (произвольно) призовые вершины-выстрелы и пристраиваем к ним по 2 следующие вершины (на любом уровне), до тех пор пока вершин в дереве не станет 17. Теперь считаем, сколько в дереве не листьев (можно их пометить цветом), это число и даёт нам число попаданий (6). Заметьте, что вид дерева может у разных детей различаться, в том числе и по числу уровней. Уровней в дереве может быть от трёх до семи. На рисунке мы приводим лишь два из возможных деревьев — одно трёхуровневое и одно семиуровневое. Естественно, у всех таких деревьев число вершин — листьев и не листьев — будет одинаковым (соответственно 17, 11 и 6).

Дата добавления: 2015-01-03