Свойства пределов

1. Если у последовательности существует предел, то он единственный.

Доказать это утверждение можно методом от противного:

Предположим, что существуют конечные пределы

где a ¹b. Нарисуем точки a и b(Рис 2)

По определению предела

() () начиная с номера все члены

a b

рис 2.

последовательности должны находится в некоторой окрестности точки a,начиная с номера все члены последовательности должны лежать в некоторой окресности точки b. Если выбрать эти окрестности непересекающимися и в качестве номера N(e) взять наибольшее из чисел N₁ и N₂, то мы приходим к явному противоречию.

2. Предел постоянной величины равен самой постояной.Это утверждение очевидно.

3. Если $ конечные пределы , , то

3.1

3.2

3.3

Используя данные утверждения, можно вычислять пределы различных последовательностей. Приведём некоторые примеры.

Найти

Используя свойство 3.2, получим:

Найти

Если n®¥, то выражения n+4 и 2n+3 стремятся также к бесконечности и поэтому вычислить этот предел, используя свойство 3.3 нельзя.

В этом случае данное выражение называют неопределённостью вида и вычисляют следующим образом: разделим числитель и знаменатель дроби на n:

.

Отметим, что встречаются неопределённости в

видов Все они вычисляются(”раскрываются”) на основании свойств 1-3.

Например:

0.

Утверждение 1. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена (т.е. существует число М такое,что ),то она имеет предел.

Утверждение 2. Если все члены последовательностей , , удовлетворяют условиям , и последовательности , сходятся:

, ;

то последовательность также сходится: и выполняются неравенства .

Введём понятие, важное в дальнейшем:

Определение: Последовательность предел которой равен 0 () называется бесконечно малой.

Таким образом, последовательности {1/n},{1/n²},{100/n} являются бесконечно малыми.

Утверждение 3.Если последовательности и бесконечно малые и - постоянная величина, то последовательности - также бесконечно малые.

Упражнение. Вычислить следующие пределы:

1. 2. 3. 4.

Ответ. 1. 1/3; 2. 0; 3. -4/7; 4. 1/2.

Дата добавления: 2014-12-23