Основные правила дифференцирования

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если она имеет производную в этой точке.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Для существования предела определяющего производную, необходимо при

Из следует, что f(x) непрерывна в точке .

Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми. Например, функция , рассмотренная в примере 2 в точке х = -1 непрерывна, так как:

Но эта функция не имеет производной в точке х = - 1.

Задача 1.

Показать, что производные суммы, произведения, частного двух дифференцируемых функции определяются следующими формулами:

1.

2.

3.

В частности:

а) б)

ВЫВОД ТАБЛИЦЫ ПРОИЗВОДНЫХ

Как при умножении чисел используют не определение действия умножения, а таблицу умножения, так при вычислении производных используют не определение производной, а таблицу производных.

Задача 1.

Показать, что производная сложной функции равна произведению производных составляющих функции, т.е.

где

Действительно

Задача 2.

Используя определение производной и основные правила дифференцирования, вычислить производные основных элементарных функции.

частности так как ln e =1 частности так как ln e =1

Для завершения таблицы производных необходимо решить следующую задачу.

Задача 3.

Найти связь производной функции с производной обратной функции.

Пусть функции: прямая у = у(х) и обратная х=х(y)– непрерывны и дифференцируемы на отрезках [a,b],[c,d] соответственно, тогда

Продолжим решение задачи 2.

8.

Пусть у = arccos x, тогда х = cos y

Аналогично получим, что =

9.

Пусть у = arcctg x, тогда x = ctg y

Аналогично получим, что

Таблица производных

N	f(x)	f’(x)
	C	O
		;

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Дата добавления: 2014-12-23