Формула Тейлора

Примеры для самостоятельного решения

Используя правило Лопиталя, найти пределы:

1) 2) 3) 4)

Ответ: 1) 3/5; 2) 0; 3)0; 4) 2;

Дифференциал функции описывает приращение функции в первом приближении, а многочлен Тейлора описывает приращение функции со сколь угодной точностью.

Пусть функция f(х) имеет все производные до (n+1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х=х₀.

Найдем многочлен Р_n(х) степени не выше n, значение которого в точке х=х₀ равняется значению функции f(х) в этой точке, а значения его производных до n-го порядка в точке х=х₀ равняются значениям соответствующих производных от функции f(х) в этой точке.

(1)

Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции f(х).

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням (х-х₀) с неопределенными коэффициентами

P_n(x)=A₀+A₁(x-x₀)+A₂(x-x₀)²+...+A_n(x-x₀)ⁿ (2)

Неопределенные коэффициенты А₀,А₁, А₂,...,А_n определим так, чтобы удовлетворялись условия (1).

Предварительно найдем производные от Р_n(х):

(3)

Подставляя в левые и правые части равенств (2) и (3) вместо х значение х₀ и заменяя на основании равенств (1)

P_n(x₀) через f(x₀), и т.д., получим:

откуда находим:

Подставляя найденные значения А₀,А₁, А₂,...,А_n в (2), получим искомый многочлен:

Обозначим через R_n(х) разность значений данной функции f(х) и построенного многочлена P_n(х)

R_n(x)=f(x)-P_n(x)

откуда f(x)=P_n(x)+R_n(x) или в развернутом виде:

R_n(х) называется остаточным членом и доказывается (см.[1]), что , (7)

где c (x₀,x).

Формула:

(8)

называется формулой Тейлора для функции f(х).

Если в формуле Тейлора положить х₀=0, то она запишется в виде:

(9)

где c (0,x). Этот частный случай формулы Тейлора иногда называют формулой Маклорена.

Заметим, что из (7) следует, что R_n(х) является бесконечно малой (n+1) порядка при х х₀ Поэтому иногда используется следующая форма .

Из (8) следует, что

Пример 1. Представить е^х в виде многочлена Маклорена.

f(x)=e^x, f^(k)(x)=e^x, f^(k)(0)=e⁰=1 поэтому

Пример2. Представить sinx в виде многочлена Маклорена.

Поэтому

Аналогично можно показать, что

Дата добавления: 2014-12-23