Выпуклость вверх и вниз

ВЫПУКЛОСТЬ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА И АСИМПТОТЫ КРИВОЙ

НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a;b], необходимо:

1. найти критические точки на этом отрезке,

2. вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка,

3. выбрать из найденных значений наименьшее и наибольшее.

Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=x³-3x+5 на отрезке [-2;2].

Далее f(-1)=7,

f(1)=3; f(-2)=3; f(2)=7.

f(-2)=f(1)=3 - наименьшее

f(-1)=f(2)=7 - наибольшее.

При исследовании функции и построении ее графика, кроме экстремума, используется еще несколько важных понятий.

График функции y=f(x) имеет выпуклость вверх (вниз) в точке х₀, если касательная в окрестности этой точки располагается выше (ниже) этой кривой.

Задача 1. Пусть функция f(x) непрерывна и имеет производные первого и второго порядка. Показать, что по знаку производной второго порядка можно судить о том, что график функции в этой точке имеет выпуклость вверх или вниз.

Формула Тейлора для f(x):

Из задачи 1§ 1 имеем у_кас=f(x₀)+ (x₀)(x-x₀)

Тогда f(x)-y_кас= Это равенство можно записать в следующем виде:

(1)

По определению, если f(x)<y_кас, то график функции имеет выпуклость вверх, а если f(x)>y_кас, то вниз. Таким образом из (1) следует:

- выпукла вниз

- выпукла вверх

Точка х₀ называется точкой перегиба, если она разделяет у непрерывной функции области выпуклости вверх и вниз.

у

А

В C

А - точка выпуклости вверх.

В- точка перегиба.

С - точка выпуклости вниз.

Дата добавления: 2014-12-23