Применение производной к исследованию функции

Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

Чтобы найти экстремум функции, требуется определить в каких точках он возможен, а затем выяснить, действительно ли он имеет место и каков его характер.

Вспомним определение экстремума функции:

Необходимые условия экстремума.

По теореме Ферма (из§4.) следует, что если f(x₀) - экстремум функции и то (x₀)=0.

Точка х₀, в которой производная (скорость) равна нулю называется стационарной точкой.

Функция f(x)= , рассмотренная в примере 2 из §1 показывает, что она имеет в точке х=-1 - минимум, а производная (-1) - не существует.

Из этих рассуждений следует, что если (x₀) - экстремум, то 1) (x₀)=0 или 2) (x₀) - не существует.

Точки в которых (x)=0 или (x) - не существует называются критическими точками.

Пример 1.

Найти критические точки функции f(x)=x³ и выяснить их характер.

y (x)=3x², 3x²=0 при х=0, f(0)=0

Но f(x)<0 при x<0

и f(x)>0 при x>0, т.е. f(x)=x³

в точке х=0 не имеет экстремума

Дата добавления: 2014-12-23