Теоремы о среднем

В этом параграфе будут получены некоторые важные соотношения между производной функции и самой функцией.

Экстремум функции.

Точка х₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если в -окрестности этой точки функция непрерывна и удовлетворяет неравенству: f(x)<f(x₀) -max (f(x)>f(x₀) - min) при

Локальный максимум или минимум называют локальным экстремумом.

Пример 1. Указать точки экстремума функции, заданной

на отрезке [a;b].

Очевидно, что f(c) - max, f(d) -min;.

y в то время как f(a) - наименьшее;

f(b)- наибольшее значения функции на [a;в].

а с d b

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке могут не быть локальными экстремумами.

Теорема (Ферма) Если функция f(x) дифференцируема в точке х₀ и имеет в этой точке локальный экстремум, то тогда ее производная в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть для определенности в точке х₀-max. Тогда f(x)-f(x₀) при x и при x . Функция f(x) дифференцируема в точке х₀, поэтому ее левая и правая производные, т.е.

Теорема (Ролля) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a; b) и f(a)=f(b), то существует хотя бы одна точка с (a; b) такая, что =0

Доказательство. 1.Если f(x)=f(a)=f(b) при x (a; b), тогда для .

2. Если f(x) const, то на интервале (a; b) найдется хотя бы одна точка х=с локального экстремума. Но тогда в этой точке, согласно теореме Ферма, =0.

Теорема (Коши ) Если функции f(x) и (x):

- непрерывны на отрезке [a; b],

- дифференцируемы на интервале (a;b),

-

тогда найдется такая точка с (a;b), в которой выполняется соотношение:

(1)

Доказательство. Вводим вспомогательную функцию

удовлетворяющую всем условиям теоремы Ролля, а значит, найдется

такая точка с (a;b), что

Итак, (1)

Теорема (Лагранжа)

Если функция: f(x)

-непрерывна на [a; b]

-дифференцируема на (a;b), тогда найдется такая точка с (a;b), в которой выполняется соотношение:

(2)

Доказательство.

В соотношении (1), полагая =х, имеем (с)=1,

, тогда из (1) (2).

Дата добавления: 2014-12-23