Примеры для самостоятельного решения

Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

ответ:

ответ:

ответ:

ответ:

ответ:

ответ:

ответ:

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Дифференциал функции столь же часто используемое понятие в математике как и производная.

Пусть имеем функцию y=f(x), определенную на интервале (a,b) и непрерывную в точке . Тогда приращению аргумента х отвечает приращение

у= f(x₀)=f(x₀+ x)-f(x₀),

бесконечно малое вместе с x. Большую роль имеет вопрос: существует ли для y такая линейная однородная относительно х бесконечно малая А x (A=const), что их разность оказывается, по сравнению с х бесконечно малой высшего порядка малости.

y=A x+ ( x) (1)

Где о( х) есть величина, стремящаяся к нулю при х 0 быстрее чем х.

При А 0 наличие равенства (1) показывает, что бесконечно малая А х эквивалентна бесконечно малой у, назовем ее главной частью приращения у.

Пример.

Рассмотрим функцию у=х³, найдем ее приращения:

y=(x+ x)³-x³=3x² x+(3x+ x)( x)²

т.е. в данном случае А=3х², а ,

т.е. ( x)=(3x+ x)( x)².

Если равенство (1) выполняется, то выражение А x называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df(x₀)

(в этом обозначении указывается на исходное значение х).

Доказывается, что для того чтобы функция y=f(x) в точке x₀ имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в точке х₀ (т.е. имела в этой точке конечную производную ). При этом А= и формула (1) имеет вид:

(1a)

Итак дифференциал всегда равен

(2)

Вопрос: Чему равен дифференциал аргумента?

Приращение аргумента(независимой переменной)тождественно равно дифференциалу аргумента.

dx= x - дифференциал аргумента.

Если для независимой переменной х имеем dx= x, то из (2) получим , и следовательно,

производная функции.

Производная функции равна частному дифференциалов функции и аргумента.

Дата добавления: 2014-12-23