Интегральный признак сходимости Коши

Признак сходимости Даламбера

Если для ряда (2) то при ряд (2) сходится, при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым и требуется дополнительное исследование

Пример 7. Ряд расходится, т.к.

При этом члены данного ряда возрастают с ростом n.

Заметим, что данный ряд расходится, т.к. (не выполнен необходимый признак сходимости).

Пример 8. Рассмотрим ряд с положительными членами

Этот ряд можно переписать в следующей форме …

Здесь поочерёдно принимает значения 1, 4,

; легко видеть, что отношение не имеет предела при . В таком случае признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. Заметим, что данный ряд расходится, т.к. общий член не стремится к нулю при .

Если неотрицательная невозрастающая непрерывная функция, тогда ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

Пример 9. Докажем, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Действительно, пусть ; эта функция непрерывна, положительна и не возрастает для (или для ), причём выполнено условие . В нашем случае ; он сходится при и расходится при . Действительно, если . Если , то . Под наш пример приводит к так называемому гармоническому ряду . В силу сказанного выше, гармонический ряд расходится.

Дата добавления: 2014-12-23